有一串长度为n的数列，现在从中等概率选出l，r，如果l大于r，则交换，有三个询问
- l~r间的数与和的数学期望
- l~r间的数或和的数学期望
- l~r间的数异或和的数学期望
对于100%的数据，1<=n<=100000，n个自然数均不超过10^9。
解
注意到l==r，概率为\(1/n^2\),其外概率均为\(2/n^2\),考虑到有固定的概率，考虑公式法，对于l==r显然可以暴力做,现在问题在于如何快速求出区间的二进制运算和，注意到二进制不进位的特点，考虑二进制拆分，于是对于所有数的单独的每一二进制位讨论，接着考虑如何维护区间二进制运算。
对于l!=r，于是枚举右端点r，再考虑左端点的情况，记录\(last[x]\)表示当前r左边第一个出现x的位置，显然可以维护,当前二进制位为第k位，数列为a，对于询问
与运算
- a[r]==0:
\[ans+=0\]
- a[r]==1:
\[ans+=(r-1-last[0])\times 2^k\times \frac{2}{n^2}\]
或运算
- a[r]==0:
\[ans+=last[1]\times 2^k\times \frac{2}{n^2}\]
- a[r]==1:
\[ans+=(r-1)\times 2^k \times \frac{2}{n^2}\]
异或运算
注意到异或类似与奇偶的性质，于是设c1,c2分别为从r向右数的以1开头的奇数段，偶数段的长度，举个例子
00001 0001 000
00001 0001 0001
例子中标黑色的段为奇数段，其余为偶数段，r为最后一个数字
于是我们有
- a[r]==0:
\[ans+=c1\times 2^k\times \frac{2}{n^2},++c2\]
- a[r]==1:
\[ans+=c2\times 2^k\times \frac{2}{n^2},wap(c1,c2),++c1\]
不难得知时间复杂度应为\(O(nlog(n))\)
参考代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define lb long double
#define swap(x,y) x^=y^=x^=y
using namespace std;
lb ans1,ans2,ans3,n1,n2;
int num[100001],last[2],c1,c2;
il void read(int&);
int main(){
int n,i,j,sxr;read(n),n2=2/((lb)n*n),n1=n2/2;
for(i=1;i<=n;++i)read(num[i]);
for(i=0,sxr=1;i<31;++i,sxr<<=1)
for(j=1,last[0]=last[1]=c1=c2=0;j<=n;num[j]>>=1,++j)
if(num[j]&1)ans1+=c2*n2*sxr+n1*sxr,ans2+=(j-1-last[0])*n2*sxr+n1*sxr,
ans3+=(j-1)*n2*sxr+n1*sxr,last[1]=j,swap(c1,c2),++c1;
else ans1+=c1*n2*sxr,ans3+=last[1]*n2*sxr,last[0]=j,++c2;
printf("%.3Lf %.3Lf %.3Lf",ans1,ans2,ans3);
return 0;
}
il void read(int &x){
x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}