准备
1.数集表示符号:
- 自然数集:N 代表自然数集(非负整数集)。表示物体个数的数叫自然数,如(0,1,2,3...)。自然数有有序性,无限性。分为偶数和奇数,合数和质数等。
- 而N*则表示正整数集,英文是natural number。
- 整数集:Z 来自于德语,德语中的整数叫做Zahlen。(integer)如(-3,-2,-1,0,1,2,3)等这样的数。整数集是一个数环。整数不包括小数,分数。
- 有理数集:Q 由于两个数之比(商)叫做有理数,商的英文是quotient,所以用Q来表示。如,是一个整数a和一个正整数b的比,例如3/8,通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数也可看做是分母为一的分数。【有理数的小数部分是有限或为无限循环的数】。不是有理数的实数称为【无理数】,【无理数的小数部分是无限不循环的数】。
- 实数集:R 表示集合理论中的实数集,而复数中的实数部分也以此符号为代表,英文是real number。实数是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。
2.数轴:
建立数轴后,实数与数轴上点一 一对应;建立实数集A,与数轴上某一区间一 一对应;
3.开区间:
直线上介于固定的两点间的所有点的集合(不包含给定的两点),用(a,b)来表示(不包含两个端点a和b)。开区间的实质仍然是数集,该数集用符号(a,b)表示,含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数,但不包含a和b。相当于{x|a<x<b},记作(a,b) 取值不包括a、b。
(开区间在数轴上用空心点表示)
4.闭区间:
闭区间是数学用语,与开区间相对。
代表符号:[x,y] ,即从x值开始到y值,包含x、y。比如:x的取值范围是3到5的闭区间,那么用数学语言表示即为 [3,5] ,也就是从3(含)到5(含)之间的数
闭区间数轴上用实心点表示(第1个):
(各区间数轴表示,符号表示)
5.邻域:
【邻域】是一个特殊的区间,以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域,记作U(a)。
【点a的δ邻域】:设δ是一个正数,则开区间(a-δ,a+δ)称为点a的δ邻域,记作
,点a称为这个邻域的中心,δ称为这个邻域的半径。由于
相当于
,因此,
表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。
点a的去心δ邻域:有时用到的邻域需要把邻域中心去掉,点a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,记作
(表达方法是在U上标一个小的0),即
,这里
表示
。有时把开区间(a - δ, a)称为a的左δ邻域,把开区间(a, a + δ)称为a的右δ邻域。
若x的邻域同时是X中的开集,称其为x的开邻域;若它同时是X中的闭集则称其为x的闭邻域。
拓扑学解释:
-
U是 开集,即 U∈ τ;
-
点x∈ U;
-
U是 A的子集,
则称点
x是
A的一个
内点,并称
A是点
x的一个邻域。若
A是开(闭)集,则称为开(闭)邻域。
拓扑空间相关结论:
-
拓扑空间X,X的子集A是 开集,当且仅当A是其中所有点的邻域。(显然由此可知,从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间)。
-
拓扑空间X,X的子集A和A°,A°是A的 开核,当且仅当A° = {x | ∃U∈U(x),U⊆A}。
-
拓扑空间X,X的子集A和A’,A’是A的 闭包,当且仅当A’ = {x | ∀U∈U(x),U∩A ≠ ∅}
6.去心邻域:
去心邻域即在a的邻域中去掉a的数的集合,应用于高等数学。在拓扑学中,设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集,点x∈A。如果存在集合U,满足 U 是开集,即 U∈τ;点x∈U;U 是A的子集,则称点 x 是 A 的一个内点,并称 A 是点 x 的一个邻域。
只考虑点a邻近的点,不考虑点a,即考虑点集{x|a-δ<x<a∨a<x<a+δ},称这个点集为点a的去心邻域,记为 ,即 。如下图所示: