【板子-扩展CRT-扩展Lucas】LGP4777 LGP4720

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LG
【简述】
CRT：
有若干方程组：
$x\equiv a_i\text{ (mod }m_i)$
其中 $m_i$互质，则令 $M=\prod m_i,M_i=\frac M {m_i},y_i=M^{-1}\text{ (mod }m_i)$
那么：
$x=\sum a_iM_iy_i \text{ (mod } M)$

扩展CRT：
假设已经有 $M=\text{lcm}_{i=1}^{k-1} m_i$,则前 $k$个方程有通解： $x+i\cdot M(i\in Z)$
现在要对于第 $k$个方程，求出一个 $t$，使得：
$x+t\cdot M\equiv a_i\text{ (mod } b_i)$
这样上面可以写成一个二元一次方程的形式，我们可以用扩展 $\text{gcd}$解出最小的 $t$。
然后有：
$x'=x+t\cdot M,M=\text{lcm}(M,b_i)$

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double db;

ll mul(ll x,ll y,ll mod){return ((x*y-(ll)((db)x/mod*y)*mod)%mod+mod)%mod;}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	ll res=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;x=y;y=t-a/b*y; 
	return res;
}

int main()
{
	ll n,M,ans;
	scanf("%lld",&n);scanf("%lld%lld",&M,&ans);
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		ll A,B,x,y;
		scanf("%lld%lld",&A,&B);
		ll b=((B-ans)%A+A)%A,gcd=exgcd(M,A,x,y);
		if(b%gcd) {puts("error");return 0;}
		ll tmp=M;M*=A/gcd;
		x=mul(x,b/gcd,A);(ans+=mul(tmp,x,M))%=M;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

扩展卢卡斯太麻烦了不写了。
大概就是考虑每个质因数的贡献，将阶乘拆出来做。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll qpow(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll res=1;x%=mod;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (!b) x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
ll inv(ll A,ll p)
{
    if (!A) return 0;
	ll a=A,b=p,x=0,y=0;
	exgcd(a,b,x,y);x=((x%b)+b)%b;
	return x;
}
ll fac(ll n,ll pi,ll pk)
{
	if(!n) return 1;
	ll res=1;
	if(n/pk)
	{
		for(ll i=2;i<=pk;++i) if(i%pi) res=res*i%pk;
		res=qpow(res,n/pk,pk);
	}
	for(ll i=2;i<=n%pk;++i) if(i%pi) res=res*i%pk;
	return res*fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
ll C(ll n,ll m,ll pi,ll pk)
{
	if(m>n) return 0;
	ll a=fac(n,pi,pk),b=fac(m,pi,pk),c=fac(n-m,pi,pk);
	ll k=0,res;
	for(ll i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
	for(ll i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
	for(ll i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
	res=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*qpow(pi,k,pk)%pk;
	return res;
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("LGP4720.in","r",stdin);
	freopen("LGP4720.out","w",stdout);
#endif
	ll n,m,mod,ans=0;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
	for(ll x=mod,i=2;i<=mod;++i) if(!(x%i))
	{
		ll pk=1;
		while(!(x%i)) pk*=i,x/=i;
		ans=(ans+C(n,m,i,pk)*(mod/pk)%mod*inv(mod/pk,pk)%mod)%mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}