回溯法分析题

2019-04-24

东华大学

《算法设计分析与综合实践》分析题作业

学生姓名：曹晨学号：171310402

作业题目

旅行售货员问题的费用上限

设G是一个有n个顶点的有向图，从顶点i发出的边的最大费用记为max(i)。
1. 证明旅行售货员回路的费用不超过。
2. 在旅行售货员问题的回溯法中，用上面的界作为bestc的初始值，重写该算法，并尽可能的简化代码。
解题过程（针对算法设计题）
简明扼要地写出解题思路或算法设计思路。可用文字、图等描述
1. 证明：旅行售货员的回路有很多种解，假设有四个节点分别是ABCD，按照可行的一种顺序B D A C 的求解费用，其费用为，推广都所有解的情况，按照节点经过的顺序编号为1，2，3，4，其费用为，再推广到n个节点的情况。由此可以看出
2. 在回溯法中，旅行售货员算法中的bestc的初始化为NoEdge，现将其修改bestc=。

写出算法描述（要有每个步骤加数字标号，必要的地方加注释，注释用双斜杠//表示），例如：

输入：

0 30 6 4

30 0 5 10

6 5 0 20

4 10 20 0

输出：

1à3à2à4à1

算法描述如下：

算法包括定义一个类，类里有三个函数，一个构造函数，一个递归函数，一个求bestc的函数如下

1 template <class ElemType>

2 class Travelling{

3 public:

4 Travelling(int nw,ElemType **ai,ElemType no)//构造函数

5 {

6 n=nw;

7 for(int i=1 to n)

8 for(int j=1 to n)

9 a[i][j]=ai[i][j];

10 NoEdge=no;

11 }

12 ElemType CalSum();//初始化bestc并调用递归函数的函数

13 private:

14 void Recursive(int i);//递归寻找可行回路的函数

15 int n;//图的顶点数

16 int *x;//当前解

17 int *bestx;//当前最优解

18 ElemType **a;//图的邻接矩阵

19 ElemType s;//当前费用

20 ElemType bestc;//当前最优值

21 ElemType NoEdge;//无边标记

22 };

23 void Travelling<ElemType>::Recursive(int i)

24 {

25 if(i到达第n层即搜索到叶子结点)

26 {

27 if(城市x[n-1]可以到达城市x[n]，并且城市x[n]可以回到城市1，且此时所走的路程s加上x[n-1]与x[n]的距离和x[n]与1的距离小于当前最优值bestc)

28

29 {

30 for(int j=1 to n)

31 bestx[j]=x[j];//保存当前最优解的顺序

32 bestc=s+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][x[1]];//记录当前最优解的值

33 }

34 }

35 else

36 {

37 for(int j=i to n)

38 if(城市x[i-1]能达到城市x[j]即这两个城市间有边，并当前所走的路程s加上这两个城市的距离比当前最优值bestc小)

39 {

40 swap(x[i],x[j]);

41 s+=a[x[i-1]][x[i]];//修改此时所走的路程s,进入下一层递归

42 Recursive(i+1);

43 s-=a[x[i-1]][x[i]];//恢复原来cc的值

44 swap(x[i],x[j]);

45 }

46 }

47 }

48 ElemType Travelling<ElemType>::CalSum()

49 {

50 int maxi;

51 bestc=1;//初始化为1

52 for(int i=1 to n)

53 for(int j=1 to n)

54 if(a[i][j]>maxi)//遍历找到从节点i发出的最大费用的边

55 maxi=a[i][j];

56 if(maxi!=NoEdge)//如果没有

57 return NoEdge;//直接返回无边标记

58 bestc+=maxi;//否则加紧bestc

59 for(int i=1 to n)

60 x[i]=i;

61 bestx[i]=i;//初始化x和bestx的顺序

62 s=0;//初始化当前费用

63 Recursive(2);//从第二层开始递归求回路

64 return bestc;

65 }

算法分析：

时间复杂度：

在函数CalSum中,两个嵌套的for循环用来求bestc的初始值，一个for循环来初始化x和bestx，总时间为f(n)=n+n*n=O(n)。在函数Recursive中，在最坏的情况下可能需要更新当前最优解O((n-1)!)，每次更新bestx需要O(n)计算时间，从而整个算法的时间复杂度为O((n)!);

空间复杂度：

图的邻接矩阵用了一个二维数组，当前解和最优解分别用了两个一维数组，所以f(n)=n*n+n*2=O(n² ),算法的空间复杂度维O(n² )

代码见打包文件

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