一篇很好的博客 https://www.cnblogs.com/ivanovcraft/p/9019090.html
树链剖分：将树分割成一条条链，然后按照dfs序进行维护
为什么要进行树链剖分？
首先来说一般的dfs序：可以想象普通的dfs序只能保证同一子树的结点序号是连续的
但是这样的dfs并没有很好的性质，比如我们要处理从root点到某个叶子结点上的路径，普通的dfs序就无法维护这样的路径
例如root有三个子节点a，b，c，子节点a有两个儿子d,e 子节点b有两个儿子f,g
现在我们要访问指定的一条路径root->d,但是dfs时root可能先访问的是b，然后再访问a
这样访问路径就必须通过暴力lca来进行dfs序的询问，而暴力lca的复杂度会达到O(n)
那么我们要使用一种方法来优化向上爬的复杂度
我们考虑dfs时先dfs到size最大的点那里——称为重儿子，dfs到底后这条链就是重链
不被重链包含的边称为轻边
然后再去dfs其他子节点，dfs的过程和根节点的过程一样
那么树的dfs序就可以看成是很多条不相交的重链，被轻链连在一起
这样的树链有两个性质：
轻边(u,v) 那么size[u]/2>size[v]，且轻边
从根节点到任意结点的路径上的轻重链数量是logn级的
感性体会一下这两个性质：要经过轻边(u,v),说明v的结点个数不会超过size[u]/2
那么每次出现一条轻边，其下面的子树规模都要除以2，所以到人以结点，轻边的数量是logn级的
那么可知轻重链的数量也是logn级的
有了这两个性质，我们再来看向上爬的问题，非根结点x到根节点的路径上最多交替出现logn条重链
而重链的dfs序恰好是连在一起的，那么就可以一起维护了
所以这样来看从x到根节点只要维护logn次即可
对于树上任意两点(x,y)，只要维护两条到根节点的路径即可！
第一次dfs处理出size数组，fa数组，重儿子数组son，deep数组(在向上爬的时候要用到，这里顺便处理了)
第二次dfs处理出轻重链：idx数组(即dfs序，最好再处理个反向的has数组，建立线段树时要用)，top数组(维护每个点所在链的顶端)
树链剖分最简单的应用就是求lca啦！
一些数组的定义
int f[maxn]; //父亲 int d[maxn]; //深度 int son[maxn]; //重儿子 int size[maxn]; //大小 int top[maxn]; //所在链的顶端 int id[maxn]; //dfs序 int rk[maxn]; //dfs序对应的结点编号 int cnt; //dfs的时间戳
轻重链剖分
void dfs1(int x,int pre,int deep){ size[x]=1,d[x]=deep; for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt){ int y=edge[i].to; if(y==pre)continue; f[y]=x;dfs1(y,x,deep+1);size[x]+=size[y]; if(size[son[x]]<size[y])son[x]=y; } } void dfs2(int x,int tp){ top[x]=tp;id[x]=++cnt;rk[cnt]=x; if(son[x])dfs2(son[x],tp); for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt){ int y=edge[i].to; if(y!=son[x] && y!=f[x])dfs2(y,y); } }
更新任意一条链(x,y):加上某个值
void updates(int x,int y,int c){ while(top[x]!=top[y]){ if(d[top[x]]<d[top[y]])swap(x,y); update(id[top[x]],id[x],1,n,1,c); x=f[top[x]]; } if(id[x]>id[y])swap(x,y); update(id[x],id[y],1,n,1,c); }
询问任意一条链(x,y)：求和
ll Sum(int x,int y){ ll res=0; while(top[x]!=top[y]){ if(d[top[x]]<d[top[y]])swap(x,y); res=(res+query(id[top[x]],id[x],1,n,1))%mod; x=f[top[x]]; } if(id[x]>id[y])swap(x,y); return (res+query(id[x],id[y],1,n,1))%mod; }
然后是完整的代码 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3384
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 200006 #define ll long long struct Edge{int to,nxt;}edge[maxn<<1]; ll n,m,head[maxn],tot,r,v[maxn],mod; void init(){memset(head,-1,sizeof head);tot=0;} void addedge(int u,int v){edge[tot].nxt=head[u],edge[tot].to=v;head[u]=tot++;} int f[maxn];//父亲 int d[maxn];//深度 int son[maxn];//重儿子 int size[maxn];//大小 int top[maxn];//所在链的顶端 int id[maxn];//dfs序 int rk[maxn];//dfs序对应的结点编号 int cnt;//dfs的时间戳 void dfs1(int x,int pre,int deep){ size[x]=1,d[x]=deep; for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt){ int y=edge[i].to; if(y==pre)continue; f[y]=x;dfs1(y,x,deep+1);size[x]+=size[y]; if(size[son[x]]<size[y])son[x]=y; } } void dfs2(int x,int tp){ top[x]=tp;id[x]=++cnt;rk[cnt]=x; if(son[x])dfs2(son[x],tp); for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt){ int y=edge[i].to; if(y!=son[x] && y!=f[x])dfs2(y,y); } } #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 ll sum[maxn<<2],lazy[maxn<<2]; void pushup(int rt){sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];} void pushdown(int l,int r,int rt){ if(lazy[rt]){ int m=l+r>>1; sum[rt<<1]=(sum[rt<<1]+lazy[rt]*(m-l+1)%mod)%mod; sum[rt<<1|1]=(sum[rt<<1|1]+lazy[rt]*(r-m)%mod)%mod; lazy[rt<<1]=(lazy[rt<<1]+lazy[rt])%mod; lazy[rt<<1|1]=(lazy[rt<<1|1]+lazy[rt])%mod; lazy[rt]=0; } } void build(int l,int r,int rt){ if(l==r){sum[rt]=v[rk[l]];return;} int m=l+r>>1; build(lson);build(rson); pushup(rt); } void update(int L,int R,int l,int r,int rt,ll val){ if(L<=l && R>=r){ lazy[rt]=(lazy[rt]+val)%mod; sum[rt]=(sum[rt]+val*(r-l+1))%mod; return; } pushdown(l,r,rt); int m=l+r>>1; if(L<=m)update(L,R,lson,val); if(R>m)update(L,R,rson,val); pushup(rt); } ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){ if(L<=l && R>=r)return sum[rt]; pushdown(l,r,rt); int m=l+r>>1;ll res=0; if(L<=m)res=(res+query(L,R,lson))%mod; if(R>m)res=(res+query(L,R,rson))%mod; return res; } ll Sum(int x,int y){ ll res=0; while(top[x]!=top[y]){ if(d[top[x]]<d[top[y]])swap(x,y); res=(res+query(id[top[x]],id[x],1,n,1))%mod; x=f[top[x]]; } if(id[x]>id[y])swap(x,y); return (res+query(id[x],id[y],1,n,1))%mod; } void updates(int x,int y,int c){ while(top[x]!=top[y]){ if(d[top[x]]<d[top[y]])swap(x,y); update(id[top[x]],id[x],1,n,1,c); x=f[top[x]]; } if(id[x]>id[y])swap(x,y); update(id[x],id[y],1,n,1,c); } int main(){ init(); scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&mod); for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&v[i]); ll x,y; for(int j=1;j<n;j++){ scanf("%lld%lld",&x,&y); addedge(x,y);addedge(y,x); } cnt=0;dfs1(r,0,1);dfs2(r,r); build(1,n,1); while(m--){ ll op,x,y,k; scanf("%lld",&op); if(op==1){//x->y路径上+k scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k); updates(x,y,k); } else if(op==2){//x->y上的sum scanf("%lld%lld",&x,&y); cout<<Sum(x,y)<<endl; } else if(op==3){//x子树上的所有点都+k scanf("%lld%lld",&x,&k); update(id[x],id[x]+size[x]-1,1,n,1,k); } else {//查询x子树下的和 scanf("%lld",&x); cout<<query(id[x],id[x]+size[x]-1,1,n,1)<<endl; } } }