滤波问题中的关键是低通滤波器的构建。带通滤波器可视为两个不同低通滤波器的差。
理想低通滤波器是shannon函数，但是其在时域中的衰减速度为O(1/t), 实用起来不是很方便，尤其是在对于较短时间序列进行滤波的时候。本博客提供一种在时域中的衰减速度为O(1/t2)的近理想低通滤波器，期待该滤波器能够在较短时间序列滤波中发挥作用。
理想的低通滤波器是shannon函数sv(t)，即
svarpi(t)=fracsinvarpitpitsvarpi(t)=fracsinvarpitpit (1)
其中v>0是一常数，代表截止频率。该滤波器的傅立叶变换即频域响应是一个矩形，即
{{hat s}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi } \ 0 & {|omega | > varpi } \ end{array}} right.{{hat s}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi } \ 0 & {|omega | > varpi } \ end{array}} right. (2)
其中^是傅立叶变换算子。因此sv(t)是个理想低通滤波器。但是，由(1)可知，sv(t)在时域中的衰减速度为O(1/t), 有些慢。也就是是说，在实际低通滤波应用中，sv(t)的截断是个问题。截断后的sv(t)如果太短会引入滤波误差，截断后的sv(t)如果太长则会引入较长的边缘效应。
下面看一个近理想的低通滤波器lv(t)，
lvarpi(t)=fracsinatatsvarpi(t)=fracsinatsinvarpitpiat2lvarpi(t)=fracsinatatsvarpi(t)=fracsinatsinvarpitpiat2 (3)
其中a>0是一个相对于截止频率v较小的常数频率, 即a/v<1。该滤波器的傅立叶变换(即频域响应)是一个梯形，即
{{hat l}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi - a} \ {frac{1}{{2a}}(omega + varpi + a),} & { - (varpi + a) < omega < - (varpi - a)} \ { - frac{1}{{2a}}(omega - varpi - a),} & {varpi - a < omega < varpi + a} \ {0,} & {|omega | ge varpi + a} \ end{array}} right.{{hat l}_varpi }(omega ) = left{ {begin{array}{{20}{c}} {1,} & {|omega | le varpi - a} \ {frac{1}{{2a}}(omega + varpi + a),} & { - (varpi + a) < omega < - (varpi - a)} \ { - frac{1}{{2a}}(omega - varpi - a),} & {varpi - a < omega < varpi + a} \ {0,} & {|omega | ge varpi + a} \ end{array}} right. (4)
当a/v<<1时，滤波器lv(t)就是一个近乎理想的低通滤波器了。
由(3)可以看出，低通滤波器lv(t)在时域中的衰减速度为O(1/t2)，要比sv(t)衰减得快。也就是说lv(t)在滤波应用时更容易被截断。当然，这一高速衰减是建立在lv(t)在频域中是个近乎矩形的梯形的让步基础之上的。在滤波实际应用中，这种让步是被允许的。
但愿大家会喜欢近理想的低通滤波器lv(t)。
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