题目
统计一个数字在排序数组中出现的次数。例如输入排序数组{1, 2, 3, 3,3, 3, 4, 5}和数字3，由于3在这个数组中出现了4次，因此输出4。
思路
代码1：
public int GetNumberOfK(int [] array , int k) {
if(array.length == 0)
return 0;
int between = GetNumberOfKCore(array, 0, array.length-1, k);
if(between == -1)
return 0;
int ret = 1;
int begin = between-1, end = between+1;
while(begin>=0 && array[begin] == k) {
ret++;
begin--;
}
while(end<array.length && array[end] == k) {
ret++;
end++;
}
return ret;
}
public int GetNumberOfKCore(int [] array , int begin, int end, int k) {
int len = end - begin + 1;
int mid = begin + len / 2;
while(begin <= end) {
if(array[mid] > k) {
return GetNumberOfKCore(array , begin, mid-1, k);
}
if(array[mid] < k) {
return GetNumberOfKCore(array , mid+1, end, k);
}
if(array[mid] == k) {
return mid;
}
}
//没有找到
return -1;
}
分析：对于例子来说，如果采用二分法找到某一个3后，再往前遍历和往后遍历到第一个和最后一个3，在长度为n的数组中有可能出现O(n)个3，因此这样的扫描方法时间复杂度为O(n)，效率与从头到尾扫描一样，速度太慢。
这题关键是找到第一个和最后一个3，因此我们尝试改进二分法：中间数字比3大或者小的情况与之前类似，关键是中间数字等于3的情况，这时可以分类讨论如下：
1）如果中间数字的前一个数字也等于3，说明第一个3在前面，继续在前半段查找第一个3；
2）如果中间数字的前一个数字不等于3，说明该位置是第一个3；
3）如果中间数字的后一个数字也等于3，说明最后一个3在后面，继续在后半段查找最后一个3；
2）如果中间数字的后一个数字不等于3，说明该位置是最后一个3；
代码2：
public class NumberOfK {
public int GetNumberOfK(int [] array , int k) {
if(array==null || array.length<=0)
return 0;
int firstK = getFirstK(array,0,array.length-1,k);
if(firstK == -1)
return 0;
int lastK = getLastK(array,firstK,array.length-1,k);
return lastK-firstK+1;
}
private int getFirstK(int[] arr, int start, int end,int k){
if(start>end)
return -1;
int mid = (start+end)>>1;
if(arr[mid]==k){
if( mid == 0 ||arr[mid-1]!=k )
return mid;
else
end = mid-1;
}else if(arr[mid]<k){
start = mid+1;
}else{
end = mid-1;
}
return getFirstK(arr,start,end,k);
}
private int getLastK(int[] arr, int start, int end,int k){
if(start>end)
return -1;
int mid = (start+end)>>1;
if(arr[mid]==k){
if(mid==arr.length-1 || arr[mid+1]!=k )
return mid;
else
start = mid+1;
}else if(arr[mid]<k){
start = mid+1;
}else{
end = mid-1;
}
return getLastK(arr,start,end,k);
}
}
代码3：
除此之外，还有另一种奇妙的思路，因为data中都是整数，所以我们不用搜索k的两个位置，而是直接搜索k-0.5和k+0.5这两个数应该插入的位置，然后相减即可。
public class Solution {
public int GetNumberOfK(int [] array , int k) {
return biSearch(array, k+0.5) - biSearch(array, k-0.5);
}
public int biSearch(int [] array, double k){
int start = 0, end = array.length - 1;
while(start <= end){
int mid = start + (end - start)/2;
if(array[mid] > k){
end = mid - 1;
}else{
start = mid + 1;
}
}
return start;
}
}
题53（二）：
题目： 0到n-1中缺失的数字
一个长度为n-1的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围0到n-1之内。在范围0到n-1的n个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。
主要思路：若数组没有缺失，则每个数字和它的下标都相等。然而，现在数组有缺失，说明从缺失的那个数开始，后面的数字都比它的下标大1。因此找出第一个数值和下标不相等的数，那么，它的下标就是缺失的那个数。
数组可看成两部分，前半段数值和下标相等，后半段数值和下标不相等，且数组是有序的。所以，使用二分查找，若中间数的值和下标相等，则在后半段继续寻找；若中间数的值和下标不相等，且中间数的前一个元素的值等于它的下标相等，那么这个中间数就是第一个值和下标不相等的数，它的下标就是缺失的那个数，否则继续在前半段寻找。
//二分查找
public int findMissingNumber(int[] data) {
if(data.length <= 1)
return -1;
return findMissingNumberCore(data, 0, data.length-1);
}
public int findMissingNumberCore(int[] data, int begin, int end) {
while(begin <= end) {
int mid = (end - begin)/2 + begin;
if(data[mid] == mid) {
begin = mid + 1;
}else if(data[mid] > mid) {
if(mid-1>=0 && data[mid-1]==mid-1)
return mid;
end = mid-1;
}
}
return -1;
}
题53（三）：
题目： 数组中数值和下标相等的元素
假设一个单调递增的数组里的每个元素都是整数并且是唯一的。请编程实现一个函数找出数组中任意一个数值等于其下标的元素。例如，在数组{-3, -1, 1, 3, 5}中，数字3和它的下标相等。
主要思路：数组是递增有序的，使用二分查找。先获取数组的中间数，若中间数的值和下标相等，则找到一个满足条件的数；若中间数的值大于它的下标，则根据数组递增的特性可知：中间数以后的元素的值至少每个比前面大1，同时它们的下标每次也是增加1，从而右边的这些元素的值都大于它们的下标，因此需要继续在左边寻找。同理，若中间数的值小于它的下标，则中间数左边的那些元素的值也都小于它们的下标，因此需要继续在右边寻找。
public class IntegerIdenticalToIndex {
public int getNumberSameAsIndex(int[] arr) {
if(arr==null || arr.length<=0)
return -1; //代表错误
int low=0;
int high=arr.length-1;
while(low<=high) {
int mid= (high+low)>>1;
if(arr[mid]>mid)
high=mid-1;
else if(arr[mid]<mid)
low=mid+1;
else
return mid;
}
return -1;
}
}