[AT2164] [agc006_c] Rabbit Exercise

题目链接

AtCoder：https://agc006.contest.atcoder.jp/tasks/agc006_c

洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/AT2164

Solution

注意到设第\(i\)个点的期望位置为\(p_i\)，由中点公式可知这个点移动一次的期望位置变成了：
\[ p_i'=\frac{2p_{i+1}-p_i+2p_{i-1}-p_i}{2}=p_{i+1}+p_{i-1}-p_i \]
考虑这个序列的差分数组\(\Delta p_i=p_i-p_{i-1}\)，考虑第\(i\)个位置发生一次变换会发生什么：
\[ \Delta p_{i}'=p'_{i}-p_{i-1}=p_{i+1}-p_i=\Delta p_{i+1}\\ \Delta p_{i+1}'=p_{i+1}-p'_i=p_{i}-p_{i-1}=\Delta p_{i} \]
其中\(\Delta p',p'\)表示变换之后的值，未加上标表示之前的值。

那么可以注意到这次变换实质上就是\({\rm swap}(\Delta p_i,\Delta p_{i+1})\)。

由于每轮操作都是一样的，那么我们可以把每轮操作写成一个置换，然后处理出倍增数组暴力跳就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

const int maxn = 1e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;

int p[maxn],d[maxn],n,m,k,fa[maxn][61],a[maxn],b[maxn];

signed main() {
    read(n);for(int i=1;i<=n;i++) read(p[i]),d[i]=p[i]-p[i-1],a[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=i;
    read(m),read(k);
    for(int i=1,x;i<=m;i++) read(x),swap(a[x],a[x+1]);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i][0]=a[i];
    for(int i=1;i<=60;i++)
        for(int x=1;x<=n;x++)
            fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for(int t=k,x=1;x<=n;x++,t=k)
        for(int i=60;~i;i--)
            if(t>=(1ll<<i)) t-=(1ll<<i),b[x]=fa[b[x]][i];
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=d[b[i]];
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1],printf("%lld.0\n",a[i]);
    return 0;
}