拜占庭将军问题（二）——口头协议

在上一篇文章中，介绍了拜占庭将军问题的描述、条件和结论。在传输口头消息(Oral Messages)时，少于3m+1个将军中有m个叛徒时，拜占庭将军问题是无解的。Leslie在原文¹中, 提出了一种传输口头消息时拜占庭将军问题的一种解法。

定义

首先，为定义口头消息，拜占庭将军消息系统具有以下假设：

A1. 每个消息被正确发送。
A2. 消息的接收者知道是谁发送的消息
A3. 可以被检测到缺少消息

假设A1和A2防止叛徒干扰其他两个将军的通信，假设A3防止叛徒通过不发消息干扰一致性达成。

另外，口头协议算法要求每个将军可以与其他任意将军直接进行通信，Leslie在其原文中的第五章中描述了不需要满足这个条件的算法。

OM(m)算法

Leslie针对口头消息(Oral Messages)的情况，提出了口头协议算法***OM(m)***，其中m为非负。***OM(m)***算法是一个递归算法，用来处理在***3m+1***个将军中至多存在***m***个叛徒的情况。

默认行动：副官如果在指定时间内收不到来自司令的命令，则默认采取“撤退”行动。这是为了防止司令官为叛徒时，通过不发出命令来阻碍达成共识。

行动函数：算法假设使用***majority*方法作为行动函数，即当 $v_i$的大多数为v时，则 $majority(v_1, ..., v_{n-1})=v$

注：其实对于行动函数，有两种比较容易想到的选择：

• $v_i$的大多数值v，如果不存在大多数采取默认行动——“撤退”；
• 如果 $v_i$是个有序的集合，采用其中位数。

OM(m)算法：采用递归定义，下面分别说明**OM(0)和OM(m)**的内容。

当 $m=0$时，

OM(0)算法

(1) 司令发送他的值给每个副官；
(2) 如果副官收到司令的值，使用这个值；否则，使用默认值——“撤退”。

当 $m>0$时，

OM(m)算法

(1) 司令发送他的值给每个副官；
(2) 对于每个 $i$，令 $v_i$为副官 $i$从司令接收到的值；如果没有收到值，则 $v_i$采用默认值——“撤退”。在***OM(m-1)***算法中，副官 $i$作为司令向另外***n-2**个副官(不包括OM(m)*中的司令)发送值 $v_i$。
(3) 对于每个 $i$，对于每个 $j\neq i$的 $j$，令 $v_i$为副官 $i$在第(2)步中从副官 $j$接收的值；如果没有接收到值，则使用默认值——“撤退”。副官 $i$用 $majority(v_1, ..., v_{n-1})$作为其值。

举例：m=1, n=4

• 当一个副官是叛徒时

假设副官3是叛徒，下图针对副官2收到的消息对**OM(1)**进行阐述。

第一步：司令向每个副官发送他的值 $v$给每个副官；
第二步：副官1执行OM(0)，作为司令向副官2发送 $v$；由于副官3是叛徒，其执行OM(0)向副官2发送了不同的值，假设为 $x$；
第三步：副官2拥有的行动值集为 $\{v_1, v_2, v_3\}=\{v, v, x\}$，采用majority**函数，副官2采取的行动值为 $v=majority\{v_1, v_2, v_3\}$。

同理，副官1采取的行动指令也是 $v$，即满足拜占庭将军问题一致性条件IC1和IC2。

注：拜占庭将军问题一致性条件为：

IC1. 所有忠诚副官遵守同一命令；
IC2. 如果司令官是忠诚的，每个忠诚的副官遵守他的命令。

• 当司令为叛徒时

下图描述了当司令为叛徒，三位副官是忠诚的情况对**OM(1)**算法进行阐述。

第一步：司令为了阻止忠诚副官达成一致，分别向三位副官发送值 $\{x, y, z\}$;
第二步：每个副官从司令收到的值作为自己的值，并执行OM(0)向其他副官发送；
第三步：在第三步中，每个副官拥有的值集均为 $\{x, y, z\}$，因此，副官执行行动函数majority**得到的结果是一样的。

由于三位忠诚的将军采取同样的行动，满足拜占庭将军一致性条件IC1。

从m=1, n=4的例子可以看出，OM(m)算法能够处理拜占庭将军问题。在OM(m)算法中，独立执行了n-1次OM(m-1)，且每个OM(m-1)算法独立执行了n-2次OM(m-2)……这就意味着，每个副官可能独立发送多轮消息。为了避免混淆，需要区分每轮消息。最易想到的方法是，每个副官 $i$在为第(2)步的值 $v_i$添加前缀 $i$。可以看出，算法**OM(m-k)**将被调用 $(n-1)...(n-k)$次，发送拥有 $k$个副官序号前缀的值。

**OM(m)**算法证明

本节采用归纳法证明**OM(m)**算法能够解决拜占庭将军问题。

引理

为了证明**OM(m)**算法，我们首先来证明一条引理：

对于任意的 $m$和 $k$，如果在多于 $2k+m$个将军中至多存在 $k$个叛徒，则OM(m)算法满足条件IC2。

证明： 归纳法，针对参数 $m$进行归纳。

当 $m=0$时，根据假设A1和**OM(0)**算法，易得如果司令是忠诚的，忠诚的将军按照司令的指令行动，引理是成立的。

当 $m>0$时，假设在 $m-1$时，引理成立，下面来证明在 $m$时，引理也成立。

在OM(m)的第一步，司令发送值 $v$给他的 $n-1$个副官；

在第二步，每个忠诚的副官在 $n-1$个副官中执行**OM(m-1)**算法。根据假设 $n>2k+m$，则 $n-1>2k+(m-1)$，所以根据引理在 $m-1$时成立，可得，每个忠诚的将军从忠诚的将军 $j$处获得的值为 $v_j=v$。

在第三步中，由于叛徒最多有 $k$个，且 $n-1>2k+(m-1)\geq 2k$，所以 $n-1$个将军中的忠诚将军为大多数。所以第三步每个忠诚的将军获得值 $majority(v_1, ..., v_{n-1})=v$，满足条件IC2。

引理得证。

证明

下面来证明算法**OM(m)**能够解决拜占庭将军问题。

定理 1：对于任意 $m$，如果存在多于 $3m$个将军中至多有 $m$个叛徒时，OM(m)算法满足条件IC1和IC2。

证明：针对变量 $m$采用归纳法。

当 $m=0$时，即没有叛徒存在，则很容易证明OM(0)满足条件IC1和IC2。

假设在 $m-1$时，定理成立，下面证明在 $m$时，定理也成立。

• 当司令是忠诚的

令引理 1中的 $k=m$，即多于 $3m$个将军中至多存在 $m$个将军时，OM(m)满足条件IC2。又因为当司令是忠诚的时，条件IC1包含在条件IC2中，所以OM(m)也满足条件IC1。

• 当司令是叛徒时

由于至多有 $m$个叛徒，所以至多存在 $m-1$个副官是叛徒。因为将军的数量多于 $3m$，所以副官的数量也多于 $3m-1$，且 $3m-1>3(m-1)$。根据递归假设算法OM(m-1)满足条件IC1和IC2，所以在第三步，对于每个副官 $j$，任意两个忠诚的副官得到相同的 $v_j$。（如果副官 $j$是两个中的一个，运用条件IC2;否则，运用条件IC1）。

所以，任意两个忠诚的副官能获得相同的指令值集 $\{v_1, ..., v_{n-1}\}$，因此，在OM(m)的第三步中，忠诚将军遵从相同的值，即 $majority(v_1, ..., v_{n-1})$。所以，算法OM(m)满足条件IC1。

综上所述，定理 1得证。

小结

本文介绍了在将军之间直接传送口头消息(Oral Messages)时，解决拜占庭将军问题的算法OM(m)，并对其在 $m=1$且 $n=4$时进行了举例说明，最后对**OM(m)**算法进行了证明。

接下来的文章中，将对将军之间传输签名的书面消息(Signed Messages)时，解决拜占庭将军问题的算法进行阐述。

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1. Lamport L, Shostak R, Pease M. The Byzantine generals problem[J]. ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS), 1982, 4(3): 382-401. ↩︎