【Ural 1057】Amount of Degrees

传送门

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Problem

求给定区间 $[\;l,r\;]$ 中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于 $k$ 个互不相等的 $b$ 的整数次幂之和。

例如，设 $l=15$， $r=20$， $k=2$， $b=2$，则有且仅有下列三个数满足题意： $17 = 2^4+2^0$， $18 = 2^4+2^1$， $20 = 2^4+2^2$。

$1 ≤ l ≤ r ≤ 2^{31}-1$， $1 ≤ k ≤ 20$， $2 ≤ b ≤ 10$。

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Solution

我们先考虑一下符合条件的数有什么特点。

比较显然的是，当这个数在 $b$ 进制下 $1$ 有 $k$ 个，且其他位都是 $0$，那它就符合条件。

为什么不能有 $2$ 或以上的数字出现呢？因为如果有 $2$，就不能满足是互不相等的 $b$ 的整数次幂之和。

所以我们用数位DP，类似于 $10$ 进制，把这个数转换成 $b$ 进制后统计 $1$ 的个数就行了。

比较简单的一道题。

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Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int l,r,k,b,a[50],f[50][50][2];
int dp(int p,int num,bool limit)
{
	if(!p)  return num==k;
	if(~f[p][num][limit])  return f[p][num][limit];
	int i,up=limit?a[p]:(b-1),ans=0;
	for(i=0;i<=up&&i<=1;++i)
		ans+=dp(p-1,num+(i==1),limit&&a[p]==i);
	return f[p][num][limit]=ans;
}
int solve(int x)
{
	int p=0;
	while(x)  a[++p]=x%b,x/=b;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	return dp(p,0,true);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&k,&b);
	printf("%d",solve(r)-solve(l-1));
	return 0;
}