卷积的定义
向量的计算
给定向量：$a=(a_0,a_1,.,a_{n-1}), \ b = (b_0,b_1,...,b_{n-1})$
向量和：$a+b = (a_0+b_0, a_1+b_1, ... ,a_{n-1}+b_{n-})$
内积：$a\cdot b = a_0b_0 + a_1b_1 +...+a_{n-1}b_{n-1}$
卷积：$a*b = (c_0, c_1,...,c_{2n-2})$，其中$C_k = \sum_{i+j=k,\ i,j< n} a_ib_j, \ k = 0,1,...,2n-2$
即$$ \begin{aligned}
C_0 &= a_0b_0 \\ C_1 &= a_0b_1+a_1b_0 \\C_2 &= a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ \cdots
\end{aligned} $$
这就是卷积的基本公式，即将下标和相同的数相乘再相加，对于这个公式我们有矩阵形式的解释。
卷积的含义
构造如下形式的矩阵：
可发现，每条斜线的项之和恰好是卷积中的各个分量。
例如，$C_{n-1}$
计算实例
向量$a=(1,2,4,3)$和向量$b=(4,2,8,0)$进行运算。
例如卷积结果中的28，既可以通过前3项交叉相乘$1\times 8 + 2 \times 2 + 4 \times 4$得到，也可以矩阵形式斜线相加得到。
卷积与多项式乘法的关系
多项式乘法：$C(x) = A(x)B(x)$
$A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+...+a_{m-1}x^{m-1}$
$B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_{n-1}x^{n-1}$
$C(X) = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x+(a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + ...+ a_{m-1}b_{n-1}x^{m+n-2}$，其中$x^k$的系数
$$c_k = \sum _{i+j=k \\ i\in\{0,1,...,m-1\} \\ j\in\{0,1,...,n-1\} } a_ib_j, \ k=0,1,...,m+n-2$$