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3. align-equal-compiled 和gmm-align-compiled
4. EM Algorithm for GMM training
0. 预备知识
单音素的训练在一个名为train-mono.sh的shell脚本里。解释之前大家需要一些储备知识。需要了解HMM，GMM以及Viterbi算法。由于代码中频繁使用Transition_Model, AmDiagGmm等，故先做一些总结如下。
kaldi对每个音素建立一个HMM模型，叫做HMMEntry，由三个state组成，定义在hmm-topology.cc 中。 如上图所示，transition state是一个整数，对应于三个变量：phone的ID号，三个hmm-state（0，1，2），global unique的pdf-id（P.d.f 为GMM模型的概率密度函数）。transition-index 对应于一个pair，也就是下一个state的ID和到下一个state的transmission／emitting probability. 而transition-ID 也对应一个pair，为transition state和transition index。
这样说可能不是很明白。再做一点解释，这些id号都是为了表达抽象的HMM转移模型，如果你需要在数学上表达一个transition，你需要知道在哪个phone上，而每个phone由多个state组成，每个state有多条边（Arc），这些边可能是self-loop，可能transmit 到下一个state，也可能emit 等等。这些边中的第几个就是transition-index，而在哪个phone，phone中哪个state，这个state的emit后的GMM概率密度表达， 这三个共同决定了transition state，因此，为了精确表达一个transition-id，需要transition state和transition-index 共同决定。
接下来一一讲解train-mono.sh 中的关键部分。
1. gmm-init-mono
Usage: gmm-init-mono <topology-in> <dim> <model-out> <tree-out>
输入：HMM的拓扑结构，特征维度
输出：模型文件 决策树文件
该程序首先初始化全局特征的均值和方差glob_inv_var，glob_mean均为1，大小等于特征维度。如果有输入特征，另外再计算更新。
然后，读入拓扑结构HmmTopology，建立里面所有phone到该phone的Pdf class数目的映射，对于通常情况为3（在kaldi的官方英文文档中有说明In the normal case the pdf-class is the same as the HMM state index (e.g. 0, 1 or 2)but pdf classes provide a way for the user to enforce sharing）。
接着就是构建决策树了，对于单音素，不需要进行KMeans聚类，所以只需要根据set.int文件（该文件描述共享共享根结点的phone）递归的构造树就好了。
构建决策树的主要函数GetStubMap。 讲解该函数首先必须大致清楚kaldi里对树节点的分类，以后会在以后三音素训练中决策树构建中仔细讲解：
CE（Constant EventMap）：叶子节点，直接保存该节点存放的transition ID；
SE（Split EventMap）： 非叶子节点，保存左右子节点yes，no等等
TE（Table EventMap）： 非叶子节点，保存节点数以及各个子节点的指针（与SE的区别在于TE的分裂更快，不只是两个分支，可以多个）
现在开始讲解GetStubMap：首先该函数输入phone_sets，所有共享的音素在一个vector中，所有的这些vector组成了phone_sets， 如果phone_sets的大小是1且其中phone都共享，返回CE，否则返回TE；如果phone_sets中每个vector的大小最大是1，并且phone_sets中vetor的数目小于最大phoneId的两倍，也返回TE；如果不是上述两种情况，进行split，phonesets分为两部分分别递归call GetStubMap，并构建SE。
GetStubMap讲的比较含糊，这个会在三音素训练中详细讲解。
接下来gmm-init-mono 构建GMM。 每个pdf初始化只有一个gmm，也就是单高斯，均值方差来自之前的glob_inv_var，glob_mean， weight为1，均值方差也都为1，计算常数部分gconsts 即高斯分布x为0时的概率，最后将所有gmm模型导入声学模型am_gmm中。
最后输出transition和声学模型的文件model，决策树tree。
2. compile-train-graphs
Usage: compile-train-graphs [options] <tree-in> <model-in> <lexicon-fst-in> <transcriptions-rspecifier> <graphs-wspecifier>
输入：tree ， transition_model ，L.fst(Lexicon), 训练音频文件的字幕， 输出为图 HCLG.fst
该函数比较简单，图的构建部分理论来自大佬Mohri的论文SPEECH RECOGNITION WITH WEIGHTED FINITE-STATE TRANSDUCERS
这部分在以后构图的地方仔细讲解。 只需知道由模型，决策树，词典对每个训练的音频文件说的话构建HCLG的图就好了。所用的函数是CompileGraphsFromText
补充：生成与音频特征对齐的HMM状态序列时要用到每句话的FST。
构造训练的网络，从源码级别分析，是每个句子构造一个phone level 的fst网络。
$sdaba/JOB/text 中包含对每个句子的单词(words level)级别标注， L.fst是字典对于的fst表示，作用是将一串的音素（phones）转换成单词（words）
构造monophone解码图就是先将text中的每个句子，生成一个fst（类似于语言模型中的G.fst，只是相对比较简单，只有一个句子），然后和L.fst 进行composition 形成训练用的音素级别（phone level）fst网络（类似于LG.fst）。
fsts.JOB.gz 中使用 key-value 的方式保存每个句子和其对应的fst网络，通过 key(句子) 就能找到这个句子的fst网络，value中保存的是句子中每两个音素之间互联的边（Arc）,例如句子转换成音素后，标注为："a b c d e f"
那么value中保存的其实是 a->b b->c c->d d->e e->f 这些连接（kaldi会为每种连接赋予一个唯一的id），
后面进行 HMM 训练的时候是根据这些连接的id进行计数，就可以得到转移概率。
3. align-equal-compiled 和gmm-align-compiled
这两个一起将的原因是功能比较类似，区别是前者在真正的训练前执行一次即可，后者在训练时调用。
他们的输入都是上一步得到的HCLG.fst的图，还有对音频文件进行特征提取（Feature extraction， MFCC， CMVN， etc）。而输出都是alignment，简单来说就是语音每帧对应的HMM state，在kaldi采用transition ID表示，因为之前说过transion ID是可以映射到唯一的HMM state.
对于align-equal-compiled，执行在真正训练之前，因为开始我们输入只有一个图，要得到alignment，需要对图进行viterbi 解码，找到最优路径，根据前面提到的论文中的WFST，输入即为alignment。 但是这里由于我们刚刚初始化，图里面各个转移概率都是初始化的值，没有进行更新，解码没有任何意义，因此我们直接随机产生一条路径，该路径符合以下要求：路径sequence的长度等于语音帧数，为此可能需要一定数目的self-loop作为补充，这样才能使NumOfFrames = non-selfloop’s ilabels + self-loops’s iabels。 该过程均匀对齐的具体代码见函数EqualAlign()。 最后，我们取该路径的所有ilabels作为Alignment输出。
对于gmm-align-compiled， 没有太大差别，但是这里我们使用WFST图中各个转移概率进行解码（采用faster-decoder）得到最佳路径而不是随机生成的路径。这是因为gmm-align-compiled 在训练中执行，而训练中我们不断更新WFST中各个概率参数，使得解码更加准确。 具体函数为AlignUtteranceWrapper()最后，我们取最佳路径的所有ilabels作为Alignment输出。
4. EM Algorithm for GMM training
接下来会讲解训练单音素的最关键部分，kaldi对transition 概率采用Viterbi training，而GMM 模型训练采用EM算法。所以这里先介绍下EM算法在GMM训练中如何使用。
大名鼎鼎的EM算法分为两部，E步和M步。也就是Expectation 和 Maximization。E步中由观测结果计算参数的估计值，M步中重新估计参数，使得Q函数最大。 Q函数为完全数据的对数似然函数的期望，也就是说M步重新估计参数，使得观测数据和未观测数据即完全数据的期望最大，在E步的基础上，我们预估了一个参数，因此得到未观测数据的分布，依此我们重新计算参数，如此迭代直到收敛。GMM的训练参数更新如下：
kaldi就是用以上方法对GMM进行更新，E步稍有不同，接下来马上会提到。
5. gmm-acc-stats-ali
Usage: gmm-acc-stats-ali [options] <model-in> <feature-rspecifier> <alignments-rspecifier> <stats-out>
输入：模型model，特征，对齐序列alignment
输出：用于训练的统计量
首先读取transition模型 和 am-gmm模型信息。对于每个音频文件和对应的对齐序列，我们进行如下操作：遍历每一帧，因为每一帧都可以从对齐序列里找到所对应的transition-id， 用一个vector记录transitio-id出现的次数，之后用于更新转移概率。同时由transition-id找到所对应的pdf-id,建立一个vector，大小为pdf-id的数目，函数ComponentPosteriors() 计算之前图片中EM算法中E步的响应度，kaldi里调用函数LogLikelihoods()计算数据data也就是每帧语音特征在GMM中每个单高斯出现的概率，存在loglikes里面
Vector<BaseFloat> loglikes;
LogLikelihoods(data, &loglikes);
BaseFloat log_sum = loglikes.ApplySoftMax();和之前图片里E步公式稍有不同，这里不是简单取平均值，而是用SoftMax计算在这个GMM模型中，数据data分别对应每个单高斯的比例。这里也就是EM算法中的E步。
接下来还调用了函数AccumulateFromPosteriors（） 这里对M步进行了一个预计算，也就是计算了上述图片中M步三个公式的分子部分，在代码里，三个分子的数据存在occupancy_，mean_accumulator_，covariance_accumulator_三个vector中。
上述所有计算后的统计量都放在AccumAmDiagGmm gmm_accs;中，作为*.acc 输出。
6. gmm-est
Usage: gmm-est [options] <model-in> <stats-in> <model-out>
这是训练的最后一步，输入是gmm-init-mono初始化的模型或者训练时上一步训练后的模型，和gmm-acc-stat-ali计算的统计量，输出也是模型。
这步分为两个部分讲解，一个时EM算法的M步，另一个时Split，因为我们初始化中GMM只有一个单高斯，在训练的时候我们会split出多个，最后使得每个GMM模型中高斯数目等于我们想要的。
M步之前还要更新模型的转移概率，还记得我们在gmm-acc-stat-ali统计好了每个transition-id出现的次数吗，我们就用它来更新，很简单，我们直接用出现的次数除以总数就得到了转移概率，具体代码见函数：
void TransitionModel::MleUpdate(const Vector<double> &stats,const MleTransition-
UpdateConfig &cfg,BaseFloat *objf_impr_out,BaseFloat *count_out)正式进入M步。用刚才计算好的的分子除以相关度之和，也就是用每帧数据的在每个单高斯上的概率相加。具体见函数：MleDiagGmmUpdate()。 这样就完成了EM算法。
接下来讲kaldi如何在每次split出新的高斯模型，达到我们想要的gauss数目。具体看函数：
void AmDiagGmm::SplitByCount(const Vector<BaseFloat> &state_occs,int32 target_components,float perturb_factor, BaseFloat power,BaseFloat min_count);
该函数首先用GetSplitTargets获取了每个GMM在该轮训练结束的时候需要达到的gauss数目，具体算法如下：
struct CountStats {
CountStats(int32 p, int32 n, BaseFloat occ)
: pdf_index(p), num_components(n), occupancy(occ) {}
int32 pdf_index;
int32 num_components;
BaseFloat occupancy;
bool operator < (const CountStats &other) const {
return occupancy/(num_components+1.0e-10) <
other.occupancy/(other.num_components+1.0e-10);
}
};kaldi为每个GMM构建以上结构体，pdf_index也就是pdf-id, num_components就是该pdf中的gauss数目，occupancy就是在该轮训练M步结束每个GMMmodel所有gauss的weight之和，再用如下公式
BaseFloat occ = pow(state_occs(pdf_index), power);重新计算作为该结构体的occupancy。 kaldi用一个priority_queue保存了很多个这样的结构体，occupancy/NumofGauss越大越在queue前面。 在GetSplitTarget函数中，首先构建所有的结构体放入queue中，然后进行一个循环，每次循环对列表最前面的结构体中的num_components加1(num_components之后表示这个GMM的在该轮训练结束时要达到的目标高斯数目)，由于加1后priority减小，可能该结构会放到queue中其他位置，下次循环对其他的GMM的gauss数加一，如此循环，直到所有GMM中的gauss数目总数达到最终的要求。
这个算法基本思想就是优先给权重最多的GMM增加gauss数，使得所有GMM尽可能得到平均。
好了，确定了每个GMM在该轮训练要增加的Gauss数目了，就要用split进行分裂了。 kaldi分裂算法如下， 具体可看函数：
void FullGmm::Split(int32 target_components, float perturb_factor,vector<int32> *history)我做个简单介绍，我们在之前获取了每个GMM需要增加到的目标gauus数，也就是target_components ，也知道当前GMM的gauss数current_components. 我们同样进行一个循环，每个iteration里，我们先得到所占weigh最大的那个gauss，然后将那个gauss的weight变为原来的一半，增加新的gauss，新gauss的均值方差为之前加上一个perturb_factor随机扰动, weight为原gauss的一半。不断迭代直到 current_components == target_components，完成一轮训练，输出新的model。
7.Summary
训练开始调用gmm-init-mono得到最初的模型和决策树，由于是对单音素的训练决策树并没有发挥真正的作用，这里的模型中均值方差都是初始化值，并没有经过训练，不能用于解码，因此，在用compile-train-graphs得到每个语音的HCLG.fst后，我们训练前只能随机产生一条符合规定条件的路径进行对齐，对齐（align-equal-compiled）的目的是找到该语音每帧对应的transition-id。
之后用对齐的transition-id和提取的特征统计信息量（gmm-acc-stats-ali），该步完成了EM算法里的E部，也计算好了M步中所需的一些数据，用于之后训练。训练时用gmm-align-compiled进行对齐，这里使用faster-decoder解码得到最佳对齐路径。
用gmm-est进行模型更新，gmm-est主要是用Viterbi training，统计transition出现的次数除以总数目更新转移概率，用EM算法完成对GMM中参数的更新，结束之前用设置power和perturb_factor进行分裂,到达指定的gauss数目。如此循环迭代，完成对mono-phone的训练。