题意
有 个不同的物品,在其中选出不多于 个,再从选出的 个中选择 个,并从 个中选出1个,给定 和 ,求总情况数对 取模(具体模数不同,但都是2的整数次幂)。
思路
各位巨佬一上来就是一串简洁易懂的理解,像我这种蒟蒻只能老老实实手推式子。
首先按照题意写出式子:
我们从内向外化简,先考虑化简
。
考场上手推40分钟结果如下:
$$
\begin{align}
\sum_{i=1}{m}C_mi*i &= C_m1+2C_m2+ \cdots +(m-1)C_m{m-1}+mC_mm \
&= C_m1+2C_m2+ \cdots +(\frac{m}{2}C_m^{\frac{m}{2}}) +\cdots +(m-1)C_m^{1}+m \
\end{align}
$$
此处运用了
这一公式。
接着我们按 的奇偶性进行分析。
若
为奇数:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 原式 &=m\times(C…
若
为偶数
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 原式 &=m\times(C…
结果神奇的事情发生了:
不论奇偶,最后的式子是一样的!!!
于是最终的答案就变为了:
然后我们发现:时间复杂度变成了
,还是爆炸了!!!
然后我们发现题目的模数有点奇怪:为啥是2的整数次幂?
结合推出的式子,我们发现当 大于给定的次幂时,由于 这一项的存在,原式对模数取模后一定为0!
于是我们可以仅仅枚举到 即可(以模拟赛给定的模数为例)。
于是可以把总复杂度限制在 之内。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define P 33554432
using namespace std;
ll C[100005][27];
void init(){
C[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= 100000; i++){
C[i][0] = 1;
for(int j = 1; j <= 25; j++){
C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
}
}
}
int main()
{
freopen("love.in", "r", stdin);
freopen("love.out", "w", stdout);
init();
int t;
cin >> t;
int n, k;
ll ans;
while(t--){
ans = 0;
scanf("%d%d", &n, &k);
k = min(k, 25);
for(int i = 1; i <= k; i++){
ans = (ans + C[n][i]*(ll)i%P*(1ll<<(i-1))%P) % P;
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}