卷积和及采样定理

离散时间系统：

$\ y(n) = \sum_{m=1}^\infty x(m)h(n-m) = x(n)* h(n)\quad\forall m\in\mathbb N$

式中“ * ”代表卷积运算, $h(n)$ 为该系统的单位冲激响应。此类卷积运算的步骤为：

1.反折
2.移位
3.相乘
4.相加
卷积长度
若 $x(n)$ 和 $h(n)$ 的长度分别为N和M，则卷积结果的长度为N+M-1。
N阶线性常系数差分方程：

$y(n) = \sum_{j=0}^M b_jx(n-j) - \sum_{i=1}^N a_iy(n-i)$

由上式可以看出，求n时刻的输出 $y(n)$ ，需要知道系统n时刻及n时刻以前的输入序列值，及n时刻以前的输出序列值。n时刻以前的输出信号值就是求解差分方程的初始条件，级零输入响应。

迭代版：

$y(n) = y(n-1) + x(n)$
采样定理
所谓模拟信号的数字处理方法就是将待处理模拟信号经过采样、量化和编码形成数字信号，再利用数字信号处理技术对采样得到的数字信号进行处理。

一个频带限制在 $(0,f_c)$ 赫兹内的模拟信号 $m(t)$ ，若以采样频率 $f_s \geq 2f_c$ 对模拟信号 $m(t)$ 进行采样，得到最终的采样值，则可无混叠失真地恢复原始模拟信号 $m(t)$ 。

其中，无混叠失真地恢复原始模拟信号 $m(t)$ 是指被恢复信号与原始模拟信号在频谱上无混叠失真，并不是说被恢复信号与原始信号在时域上完全一样。由于采样和恢复器件的精度限制以及量化误差等存在，两者实际是存在一定误差或失真的。

奈奎斯特频率：通常把最低允许的采样频率 $f_s = 2f_c$ 称为奈奎斯特频率。

采样定理的几点小结：
1. 一个带限模拟信号 $x_a(t)$ ，其频谱的最高频率为 $f_c$ ，以间隔 $T_s$ 得到采样信号 $\hat{x}_a(t)$ ,当且仅当 $f_s \geq 2f_c$ 时， $\hat{x}_a(t)$ 才可不失真的恢复 $x_a(t)$ 。
2. $\hat{x}_a(t)$ 的频谱 $\hat{X}_a(j\Omega)$ 是模拟信号 $x_a(t)$ 的频谱 $X_a(j\Omega)$ 以 $\Omega = 2\pi f_s$ 为周期进行周期延拓得到的。
3. 一般称 $f_s /2$ 为折叠频率，只要信号的最高频率不超过这个频率，就不会出现频谱混叠现象，否则，超过 $f_s /2$ 的频谱会“折叠”回来形成混叠现象。

分析连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，原信号：
$f(x) = 0.5sin(2\pi *65t)+0.8cos(2\pi *40t)+0.7cos(2\pi *30t)$
对原信号进行采样，得到采样序列，对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。

MATLAB代码如下：

function fz = cy(fy,fs)
%实现采样频谱分析绘图函数
%fy：原信号函数，fy以字符串的格式输入
%fs：采样频率

fs0 = 1e4;
tp = 0.1;
t = [-tp:1/fs0:tp];
k1 = 0:999; k2 = -999:-1;
m1 = length(k1); m2 = length(k2);
f = [fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];%设置原信号的频率数组
w = [-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];
fx1 = eval(fy);%获取采样序列
FX1 = fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w);%求原信号的离散时间傅里叶变换
%画原信号
figure
subplot(211),plot(t,fx1,'r')
title('原信号');
xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)');
axis([min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)])
grid on
%画原信号频谱
subplot(212),plot(f,abs(FX1),'r');
title('原信号频谱');
xlabel('f(Hz)'),ylabel('FX1');
axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5]);
grid on
%对信号采样
Ts = 1/fs;%采样周期
t1 = -tp:Ts:tp;%采样时间序列
f1 = [fs*k2/m2,fs*k1/m1];%设置采样信号的频率数组
t = t1;
fz = eval(fy);%获取采样序列
FZ = fz*exp(-j*[1:length(fz)]'*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换
%画采样序列波形
figure
subplot(211),stem(t,fz,'.');
title('取样信号')
xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')
line([min(t),max(t)],[0,0]);
grid on
%画采样信号频谱
subplot(212),plot(f1,abs(FZ),'m');
title('取样信号频谱')
xlabel('f(Hz)'),ylabel('FZ')
grid on

end

function fh = hf(fz,fs)
%信号的恢复及频谱函数
%fz:采样序列
%fs:采样频率

T = 1/fs;
dt = T/10; tp = 0.1;
t = -tp:dt:tp; n = -tp/T:tp/T;
TMN = ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));%t-nT
fh = fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号
k1 = 0:999; k2 = -999:-1;
m1 = length(k1);m2 = length(k2);
w = [-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];
FH = fh*exp(-j*[1:length(fh)]'*w);%恢复后的信号的离散时间傅里叶变换
figure
%恢复信号波形
subplot(211),plot(t,fh,'g');
st1 = sprintf('由取样频率fs=%d',fs);
st2 = '恢复后的信号';
st =[st1,st2];
title(st);
xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)');
axis([min(t),max(t),min(fh),max(fh)])
line([min(t),max(t)],[0,0])
grid on
%画重构信号的频谱
f = [10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];
subplot(212),plot(f,abs(FH),'g')
title('恢复后信号的频谱');
xlabel('f(Hz)'),ylabel('FH');
axis([-100 100 0 max(abs(FH))+2]);
grid on
end

程序结果如下：
原信号及原信号频谱图

$f_s < 2f_{max}$ 时，为原信号的欠采样信号和恢复，即不满足采样定理，出现频谱混叠现象。

这里写图片描述

卷积和及采样定理

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