题库源自《小学生最爱的100个数学游戏》
001 水多还是白酒多
桌上放着两个相同大小的瓶子，一瓶装着白酒，一瓶装香水，两个瓶子里的液体一样多。如果用小勺从第一个瓶子中取出一勺白酒，倒入第二个瓶子中，搅匀后，再从第二个瓶子中取一勺混合液，倒回第一个瓶子中。那么此时是白酒中的水多，还是水中的白酒多呢？
设桌上左边有白酒，右边有香水，简称水。假设白酒和水的体积都是\(V\)，每次一勺可以舀出\(V_0\)的液体。
第一次，左边的液体中有\(V-V_0\)的液体，右边有\(V+V_0\)的液体，水的体积分数为\(\frac{V}{V+V_0}\)，酒的体积分数为\(\frac{V_0}{V+V_0}\)。
第二次，从右边取出\(V_0\)的液体，其中含有\(\frac{VV_0}{V+V_0}\)的水，有\(\frac{V_0^2}{V+V_0}\)的酒。左边的总体积变为\(V\)，其中有水\(\frac{VV_0}{V+V_0}\),有酒\(V-V_0+\frac{V_0^2}{V+V_0}=\frac{V^2-V_0^2+V_0^2}{V+V_0}=\frac{V^2}{V+V_0}\)；同理计算右边，有水\(V-\frac{VV_0}{V+V_0}=\frac{V^2+VV_0-VV_0}{V+V_0}=\frac{V^2}{V+V_0}\)，有酒\(V_0-\frac{V_0^2}{V+V_0}=\frac{VV_0+V_0^2-V_0^2}{V+V_0}=\frac{VV_0}{V+V_0}\)。
不妨记\(p = \frac{V^2}{V+V_0}\)，\(q = \frac{VV_0}{V+V_0}\)，则左边有q体积的水，p体积的酒；右边有p体积的水，q体积的酒。此时无论如何理解题意，都有：水中的白酒和白酒中的水一样多。
279 最大的数
用三个9能写出来的最大的数是多少？
题目给出的标答是\(9^{9^{9}}\)，并且说还没有人去计算过它的值。不过等我的编程学得足够好了，我应该能够算出它的后100位之类的。毕竟葛立恒数都可以这样算啊。
不过这里给出一种更大的构造方法：\(9 \uparrow 9 \uparrow 9\)。\(\uparrow\)的定义参见高德纳箭头。
总而言之，这道题是没有标答的。我们可以迭代构造运算符，从而使得运算结果趋于无穷大。
031 消失的一元钱
3个人住宿时，每人十元，将30元交给服务员后，再由服务员交到会计那里去。会计给打了个折找回了5元。服务员从中私吞了2元，只给他们3元。
3人分3元，每人退回1元，合计每人附了9元，加载一起一共27元，再加上服务员私吞的2元，一共29元。怎么也与付账的钱对不上。
那么，是哪里出了问题呢？
我们可以将原题目符号化：
3个人住宿时，每人p元，将3p元交给服务员后，再由服务员交到会计那里去。会计给打了个折找回了q元。服务员从中私吞了e元，只给他们q-e元。
3人分q-e元，每人退回(q-e)/3元，合计每人附了p-(q-e)/3元，加载一起一共3p-q+e元，再加上服务员私吞的e元，一共3p-q+2e元。怎么也与付账的钱对不上。
那么，是哪里出了问题呢？
带入p=10,q=5,e=2,得到3p-q+2e=30-5+4=29。
问题一目了然 。