随机数的生成

在C语言(C++)中，随机数的生成主要依靠rand()函数实现，同时在程序中需要包含<cstdlib>以及<ctime>等头文件。

· 通过rand()函数生成随机数

普通的随机函数rand()可以生成[0,32767]范围内的伪随机数，借助系统时间产生的随机种子，可以实现等概率生成随机数。
如果我们需要[0,n-1]范围内的随机数，只需要用rand()对n取模就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
int main(){
	srand(time(NULL));
	int n=rand()%100+1;
	printf("Random Number in Range [1,100] : %d\n",n);
	return 0;
}

但是这样生成的随机数存在两个问题：
(1) 当n不是2的若干次幂时，产生的随机数不是等概率的。
(2) 由于rand()函数有上限，因此n必须小于等于RAND_MAX+1，也就是32768。

为什么会出现这样的问题?
举个例子：如果我们要生成[0,9999]之间的随机数，此时 $n$ =10000，根据上述做法，首先要等概率产生一个[0,32767]范围内的随机数 $r$ ，然后将 $r$ 对 $n$ 取模得到随机数 $x$ 。
对于 $x$ 的某个取值 $x_0$ ，若 $x_0$ 落在区间[0,2767]内，则 $P(x$ = $x_0)=\frac{4}{32767}$ ，若 $x0$ 落在区间[2768,9999]内，则 $P(x$ = $x_0)=\frac{3}{32767}$ 。显然，对于不同区间内的数字来说，被选中的概率也是不同的，并且概率的比值接近于 $4:3$ 。
如果这个范围再大一些，比如 $n$ =100000时，区间[32768,99999]内的数字出现的概率为0。

使用rand()函数生成100万个[0,9999]范围内的随机数，并统计每个长度为1000的区间内的随机数个数，测试结果验证了随机数的分布不均匀的情况：

随机数分布测试结果

如何解决这样的问题?
为了解决上述两个问题，我们可以将多个随机数拼接在一起，生成更大范围内的随机数。

· 通过多个随机数拼接生成随机数

假设通过rand()函数生成了两个[0,32767]范围内的随机数 $x_1$ 和 $x_2$ ，我们可以令 $y$ = $(x_1$ << $15)$ + $x_2$ 生成一个[0,2³⁰-1]范围内的随机数。对于任意一个非负整数 $y$ ，都可以用唯一的非负整数对 $(x_1,x_2)$ 来表示；对于任意一组非负整数对 $(x_1,x_2)$ ，都可以确定唯一的非负整数 $y$ 。又因为 $x_1$ 和 $x_2$ 的取值相互独立，非负整数对 $(x_1,x_2)$ 是等概率随机产生的，所以这样生成的非负整数 $y$ 仍然是等概率的。

用类似的方法，我们可以等概率的生成[0,2^k-1]范围内的随机数 $R$ 。然后可以用 $R$ 对 $n$ 取模得到一个[0,n-1]范围内的随机数 $x$ 。
虽然这样得到的 $x$ 仍然不是等概率的，但是当 $k$ 增大时，概率之间的差异会相对减少。记 $m$ = $\lfloor \cfrac{2^k}{n}\rfloor$ ， $r$ = $2^k\% n$ ，则区间[0, $r$ -1]内的每个 $x_0$ 出现的概率 $P(x$ = $x_0)=\cfrac {m+1}{2^k}$ ，区间[ $r$ , $n$ -1]内的每个 $x_0$ 出现的概率 $P(x$ = $x_0)=\cfrac {m}{2^k}$ ，概率之比为 $(m+1):m$ 。当 $n$ 取100000， $k$ 取30时，计算得到 $m$ 的值为10737，概率之间的差异不到0.0001。

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C语言代码如下:

// 生成[0,n-1]之间的整数 
long long Rand(long long n){
	long long result=0;
	// 这里的随机数上限是1e18,考虑时间效率与数据范围选择每次左移10位
	for(int i=0;i<6;i++){
		result=((result<<10)+rand()%1024)%n;
	}
	return result;
}

随机浮点数的生成只需要通过移动小数点就可以实现：

// 生成[0,1)之间的浮点数 
double fRand(){
	return Rand(1e15)*1e-15;
}

使用上述代码随机产生的20个整数如下图所示:
随机生成20个整数
使用上述代码随机产生的20个浮点数如下图所示:
随机生成20个浮点数

随机序列的生成

如果是带有重复元素的随机序列，可以直接把 $n$ 个随机数拼接在一起，如果要去重的话就会稍微麻烦一些。

· 通过随机全排列生成随机序列

当随机序列的值域比较小的时候，这里假设元素的取值范围是[1, $N$ ]，可以先产生 $1$ ~ $N$ 的随机排列，然后取出前 $n$ 项即可。

随机排列的生成可以使用STL中的random_shuffle()函数，也可以用以下方法生成：
(1) 初始化长度为 $N$ 的数组 $a$ [ ]，其中第 $k$ 个元素是 $k+1$ 。
(2) 接下来逐个选出随机序列的元素。假设当前正在进行第 $i$ 次循环，可以先在[0, $N$ - $i$ -1]的范围内产生一个随机数 $x$ ，令 $j$ = $x$ + $i$ ，然后交换a[i]与a[j]。
(3) 重复上述过程，直到选出 $n$ 个元素。

对于元素x，被选出的概率 $P(x)=p*\sum_{k=1}^n{p\times (1-p)^k}=p\times [1+(1-p)+(1-p)^2+…+(1-p)^{n-1}]=p\times [1-(1-p)^n]/p=1-(1-p)^n$ ，其中 $p=\frac{1}{N}$ 。当 $N=n$ 时，每个元素一定会被选中，这种方法也可以用来随机打乱数组。
另外，上述过程的时间复杂度为 $O(n)$ ，空间复杂度为 $O(N)$ 。

以下是使用C++实现的随机序列生成方法:

template<typename T>
void shuffle(T array[],int len,int size){
	for(int i=0;i<size;i++){
		int j=i+Rand(len-i);
		swap(array[i],array[j]);
	}
	return ;
}

· 通过set集合去重生成随机序列

如果随机序列的值域比较大，使用随机排列方法的空间消耗是无法接受的，我们可以使用set集合进行去重：
每次产生一个随机数 $x$ ，然后加到set集合中去，如果元素 $x$ 已经在set中存在，就不会被添加。重复上述过程直到set中元素的个数恰好为 $n$ 。

接下来分析这种方法的时间效率:
设 $E(k)$ 表示已经放进 $k$ 个元素时，剩余的期望操作步数。
首先可以得到 $E(n)=0$ ，以及状态转移方程 $E(k)=(1-\frac{k}{N})\times E(k+1)+\frac{k}{N}\times E(k)+1$ ，进而得到递推关系 $E(k)=E(k+1)+\frac{N}{N-k}$ ，由此推出： $E(0)=\sum_{k=0}^{n-1}\cfrac{N}{N-k}\leq N \int _0^n \cfrac{dx}{N-x} =N\ln\cfrac{N}{N-n}$ 令 $N=k\times n$ ，化简得到 $E(0)\leq n\ln(\frac{k}{k-1})^k$ 。当 $k$ = $2$ 时，期望步数的上限为 $1.386 n$ 。当 $k$ = $10$ 时，期望步数的上限为 $1.054n$ 。当 $k$ 趋近于无穷大时， $(\frac{k}{k-1})^k$ 趋近于 $e$ ，期望步数会趋近于 $n$ 。因此期望时间复杂度近似为 $O(n\log n)$ 。