（图论）广度优先搜索（Breadth First Search, BFS）

描述

最简单、直接的图搜索算法：

• 从起点开始层层扩展
  • 第一层是离起点距离为1的
  • 第二层是离起点距离为2的
  • …
• 本质就是按层（距离）扩展，无回退。

BFS算法分析

1、算法流程：

1、给定某起点 a ，将 a 放入缓冲区，开始搜索；
2、过程：假定某时刻缓冲区内的节点为 $abc$，则访问节点 $a$ 的邻接点 $a_1 a_2 a_3$，同时缓冲区变成 $bca_1 a_2 a_3$，为下一次访问做准备。

• 从上述流程分析，需要把队列作为辅助数据结构，因为队列具有先进先出的特点，从队尾入队，从队首出队，只有队首元素可见。

3、节点判重：

• 如果在扩展过程中，发现某节点在前期已经访问过，则本次不再访问该节点；显然，第一次访问到该节点时，是访问次数最少的。

4、路径记录

• 一个节点可能扩展出多个节点：多后继；但是任意一个节点最多只可能有一个前驱（起始节点没有前驱）：单前驱。
• 用和节点数目等长的数组 pre[0…N-1]
• pre[i] = j：第 i 个节点的前一个节点是 j （用到存索引而不存数据本身的思路）

2、算法框架

辅助数据结构

• 队列q：用于缓存访问的节点
• d[0…N-1]：用于记录步数（即节点是第几次被访问到的）
• pre[0…N-1]：节点的前驱

算法描述

• 起点 start 进入队列 q
  • 记录步数 d[start] = 0；
  • 记录 start 的前驱 pre[start] = -1；
• 如果队列 q 非空，则队首节点 x 出队，尝试扩展 x：
  • 找到 x 的邻接点集合 $\{y|(x, y)\in E\}$
    • 对每个新扩展节点 y 判重，如果 y 是新节点，则入队 q；
    • 同时，记录步数 d[y] = d[x] + 1；
    • 前驱 pre[y] = x；

3、对BFS的改进——双向BFS

从起点和终点分别走，直到相遇，即将单向BFS的树形结构变为了纺锤形结构。
在经典的BFS中，树形搜索结构若树的高度非常高时，叶子非常多（树的宽度大），而通过把一颗高度为h的树用两个近似 $\frac h2$的树代替，宽度相对较小。