比特币双花攻击成功概率与比特币白皮书的calculation部分解读

第一部分： $q_z = (q/p)^z$

已知
$p$ = probability an honest node finds the next block
$q$ = probability the attacker finds the next block
$q_{-z}$ = probability the attacker will ever catch up from z blocks behind
注： $p + q = 1$
求攻击者在落后z个区块的情况下被攻击者追上的概率。

分析：
这个问题可以等价于赌徒问题，赌徒（攻击者）本钱为 $-z$；相当于目前落后z个区块

• 当资产为 $-x$块时，赌徒会止损（ $x>z$），即赌徒不能忍受损失 $x$；相当于当攻击者发现已经落后诚实结点x个区块后，不再进行攻击。
• 当资产为 $0$时，赌徒会收手；相当于攻击者目前区块高度与诚实结点一样，攻击成功。

赌徒赌赢的概率是 $q$，那么赌徒的本钱为-z时，赌徒攻击成功的概率为

$q_{-z}= q*q_{-z+1}+(1-q)*q_{-z-1}$

目的是资产达到i，我们来看第一回合赌局，有两种可能，以q的概率赌赢，以1-q的概率赌输：

• 第一回合赌赢，第二回合赌徒的本钱为 $-z+1$，后面基于本钱 $-z+1$攻击成功的概率为 $q_{-z+1}$；这种情况的概率为 $q*q_{i-1}$
• 第二回合赌输，第二回合赌徒的本钱为 $-z-1$，后面基于本钱 $-z-1$攻击成功的概率为 $q_{-z-1}$；这种情况的概率为 $(1-q)*q_{i-1}$

这是一个二阶的数列，相当于解方程 $x=qx^2+(1-q)$，解得 $x_1=1$， $x_2=\frac{1-q}{q}$。

注意：

• $q_0=1$：如果攻击者与诚实结点高度差异为0，那么攻击成功
• $q_{-\infin}=0$：如果攻击者落后诚实结点 $\infin$个区块，攻击者放弃攻击，攻击失败。如何理解上面的表述？即攻击者在追赶的过程中无论落后多少个区块也不会放弃攻击

当 $x_1=x_2$时，即 $q=\frac{1}{2}$，
$q_{-z}=(A+B(-z))(x_1)^{-z} = A+B(-z)$
又因为 $q_0=1$且 $q_{-\infin}=0$，所以 $q_z=1$。

当 ${x_1}\neq{x_2}时，$
$q_{-z}=A(x_1)^{-z}+B(x_2)^{-z} = A+B(\frac{1-q}{q})^{-z}$

• 当 $q<\frac{1}{2}$时， $q_{-\infin}=0$ 且 $q_0=1$=> $A=0，B=1$ => $q_{-z}=(\frac{1-q}{q})^{-z}$
• 当 $p>\frac{1}{2}$时， $q_{-\infin}=0$ 且 $q_0=1$=> $A=1，B=0$ => $q_z=1$

综上所述：
$q_{-z} = \begin{cases} (\frac{1-q}{q})^{-z}=(\frac{q}{1-q})^{z}, & q<\frac{1}{2} \\ 1, & q \geq \frac{1}{2} \end{cases}$

进行变换：
$q_{-z} = \begin{cases} (\frac{q}{p})^{z}, & q<p \\ 1, & q \geq p \end{cases}$

第二部分：泊松分布

当我们发起一笔交易tx在T1时被广播，而攻击者同时在T1做双花攻击。在T2时tx被主链上z个区块支持。

那么我们需要猜测攻击者在从T1时刻到T2时刻，暗地里挖了多少个块？
假设是泊松过程，T为一段长时间，在间隔T内，诚实结点挖了p个，攻击者挖了q个。

诚实结点挖z个区块所花时间t满足 $z = (\frac{p}{T})t$
攻击结点挖x个区块所花时间t满足 $x = (\frac{q}{T})t$

因此，
$x = \frac{q}{p}z$

所以，攻击者暗地里挖的区块个数满足 $\lambda=\frac{q}{p}z$的泊松分布P(x)。所以攻击者攻击成功的概率为

$P(攻击成功) = \sum_{x=0}^{+\infin} P(x)*q_{-z}(z-x) = \sum_{x=0}^{+\infin} \frac{{\lambda}^{x}{exp(-\lambda)}}{x!} * \begin{cases} (\frac{q}{p})^{z-x}, & x\leq z \\ 1, & x > z \end{cases}=1-\sum_{x=0}^{z} \frac{{\lambda}^{x}{exp(-\lambda)}}{x!}(1-(\frac{q}{p})^{z-x})$