群的概念

1.1.8设是数域上的线性空间，证明上有一组基。
1.2.5举出一个半群的例子，它不是含幺半群；再举一个含幺半群的例子，它不是群。
1.2.6(这可作为群的另一定义，即群的单边定义)设是一个半群，如果
(a)中含有左幺元，即对任一
(b)的每一个元都有左逆使得
试证是群。
1.2.7(这可作群的另一定义：即群的除法定义)设是半群，若对任意方程在内有解，则是群。
1.2.8(这可作为有限群的另一定义)设是一个有限半群，如果在内左右消去律均成立，即由或可推出则是群。
1.2.11对任意是群的自同构当且仅当是群
1.2.13证明：
(1)有理数加法群和正有理数乘法群不同构
1.2.15令是阶有限群，是的一个子集，试证对任意存在使得
1.2.18令是阶有限群，是群的任意个元，不一定两两不同，试证存在整数和，使得
1.2.19群的自同构称为没有不动点的自同构，是指对的任意元有如果有限群具有一个没有不动点的自同构且则一定是奇数阶群
1.2.20设是群的两个元，满足试证