[bzoj1025] [SCOI2009]游戏

Description

　　windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可
能的排数。

Input

　　包含一个整数N,1 <= N <= 1000

Output

　　包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

Sample Output

Solution

根据一点点置换知识可以知道，对于一个循环，排数应该是
\[{\rm{ lcm}}(a_1,a_2,\cdots , a_k)\]，其中\(a_i\)为循环节长度。

那么问题就变成了，求这个\(lcm\)的种类数。

设\(lcm=\prod_{i=1}^{r}a_i^{p_i}\)，那么显然这种情况的\(n\)最小是\(\sum_{i=1}^ra_i^{p_i}\)，其中\(a_i\)为质数。

那么这就是一个背包问题了，设\(f[i][x]\)表示前\(i\)个质数构成\(n\)为\(x\)的方案数。

这个直接背包转移就好了。

~~具体细节看代码~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long           //(>▽<)

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

#define write(x) printf("%lld\n",x)

const int maxn = 1e3+10;

int f[220][1020],pri[maxn],vis[maxn],tot;

void sieve(int n) {
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}

signed main() {
    int n;read(n);
    f[0][0]=1;sieve(n);
    for(int i=1;i<=tot;i++) 
        for(int j=0;j<=n;j++) {
            f[i][j]+=f[i-1][j];
            for(int k=pri[i];k<=j;k*=pri[i]) f[i][j]+=f[i-1][j-k];
        }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ans+=f[tot][i];
    write(ans);
    return 0;
}