Luogu P4174 [NOI2006\]最大获利|网络流

非常经典的网络流模型。

最大权闭合子图

我们将样例用图的形式表达

接下来我们引入有向图的闭合子图的概念

定义一个有向图的闭合图（closure）\(G=(V,E)\)是该有向图的一个点集，且该点集的所有出边都还指向该点集。即闭合图内的任意点的任意后继也一定在闭合图中。

在本图中，如果我们选择了左边的一个点，那么其后继一定也要被选中。这就是有向图的闭合子图。事实上，我们可以将其转化为最小割的模型。我们将正权点连向源点\(S\)，边权为点权，负权点连向汇点\(T\)，边权为点权的绝对值，而原来的边的权值为\(INF\)。如下图：

我们使用最小割，中间的不可割，左边割了就意味着放弃了第\(i\)名用户的权益，右边割了就意味着建第\(i\)个基站。最后，所有正权点的点权之和减去得到的最小割即为答案。

求最小割可以用“最大流=最小割”定理解决。

上代码

//1为源点，2~1+m为用户，2+m~n+m+1为第i个基站，n+m+2为汇点
#include<bits/stdc++.h>
#define inf 2147483647
#define T n+m+2
#define N 400000
using namespace std;
int cc,to[N],net[N],fr[N],len[N],fx[N],c[N],q[N];
bool vis[N];int n,m,a,u,v,l,sum;
void addedge(int u,int v,int l)
{
    cc++;
    to[cc]=v;net[cc]=fr[u];fr[u]=cc;len[cc]=l;fx[cc]=cc+1;
    cc++;
    to[cc]=u;net[cc]=fr[v];fr[v]=cc;len[cc]=0;fx[cc]=cc-1;
}//建边
bool bfs()
{
    int h=1,t=1;
    for (int i=1;i<=T;i++)
      c[i]=0,vis[i]=false;
    q[1]=1;c[1]=1;vis[1]=true;
    while (h<=t)
    {
        for (int i=fr[q[h]];i;i=net[i])
        {
            if (vis[to[i]]||(!len[i])) continue;
            q[++t]=to[i];
            c[to[i]]=c[q[h]]+1;vis[to[i]]=true;
        }
        h++;
    }
    return vis[T];
}
int dfs(int x,int k)
{
    int ff=0;
    if (x==T) return k;
    for (int i=fr[x];i;i=net[i])
    {
        if (len[i]&&c[to[i]]==c[x]+1)
        {
            int y=min(k,len[i]);
            int re=dfs(to[i],y);
            len[i]-=re;
            len[fx[i]]+=re;
            ff+=re;k-=re;
        }
        if (k<=0) break;
    }
    return ff;
}
int dinic()
{
    int ans=0;
    while (bfs())
    {
        ans+=dfs(1,inf);
    }
    return ans;
} //跑dinic
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a);
        addedge(m+1+i,T,a);
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);
        sum+=l;
        addedge(1,1+i,l);
        addedge(1+i,1+m+u,inf);
        addedge(1+i,1+m+v,inf);
    }
    cout<<sum-dinic(); 
    return 0;
}

参考资料

[1] 胡伯涛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007

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