931. Minimum Falling Path Sum
1. 题目
题目链接
Given a square array of integers A, we want the minimum sum of a falling path through A.
A falling path starts at any element in the first row, and chooses one element from each row. The next row’s choice must be in a column that is different from the previous row’s column by at most one.
Example 1:
Input: [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
Output: 12
Explanation:
The possible falling paths are:
[1,4,7], [1,4,8], [1,5,7], [1,5,8], [1,5,9]
[2,4,7], [2,4,8], [2,5,7], [2,5,8], [2,5,9], [2,6,8], [2,6,9]
[3,5,7], [3,5,8], [3,5,9], [3,6,8], [3,6,9]
The falling path with the smallest sum is [1,4,7], so the answer is 12.
2. 题目分析
在一个n阶矩阵中，从第一行的任一元素开始，找到到达最后一行时的最短路径，但要求，选择路径中的下一个元素，必须与当前元素的距离不超过1，即如果当前元素处于(i.j)，则下一个元素只能是（i+1,j-1）,（i+1,j）,（i+1,j+1）中的一个。
3. 解题思路
这题其实与找在m*n矩阵中从一个元素开始到达最右下角元素的最短路径的题型差不多，只是行走规则和到达的目的地不一样而已。所以都是动态规划的题目。按照我之前分析的动态规划的思路：
- 首先确定状态，用dp[i][j]表示到达第i行第j列时的最小路径（从第0行开始）；
- 初始化，对第0行的所以状态进行初始化，即dp[0][j] = A[0][j];
- 找状态转移方程，因为到达(i,j)，只可能是（i-1,j-1）,（i-1,j）,（i-1,j+1）这三个点，所以只要比较这三者，找到最小值就行，需要注意的是，如果当前i=0，则，没哟j-1;如果当前i=length-1；则没有j+1。
4. 代码实现（java）
package com.algorithm.leetcode.dynamicAllocation;
/**
* Created by 凌 on 2019/1/27.
* 注释：931. Minimum Falling Path Sum
*/
public class MinFallingPathSum {
public int minFallingPathSum(int[][] A) {
int len = A.length;
if (A == null || len == 0){
return 0;
}
int[][] dp =new int[len][len];
for (int j = 0; j < len; j++) {
dp[0][j] = A[0][j];
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < len; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if (j>=1){
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
}
if (j+1<len){
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i-1][j+1]);
}
dp[i][j] += A[i][j];
}
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (int j = 0; j < len; j++) {
min = Math.min(dp[len-1][j],min);
}
return min;
}
}