BZOJ2705 【SDOI2012】Longge的问题 欧拉函数 数学专题第五题

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题目_p2104

BZOJ 2705
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From Tyvj Guest☆【bzoj2705】Longge的问题
背景 Background
此系列问题为数论专题
具体参考博文
http://blog.csdn.net/chty2018/article/details/53432272
描述 Description
Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出 $∑gcd(i, N)(1<=i <=N)$
输入格式 Input Format
一个整数，为N。
输出格式 Output Format
一个整数，为所求的答案。
样例输入 Sample Input
6
样例输出 Sample Output
15
时间限制 Time Limitation
1s
注释 Hint
【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。
来源 Source
sdoi2012 【bzoj2705】Longge的问题
题面，数据来自宋逸群

题解

题目挺短的，思路也很清晰，就是设 $gcd(i,n)=k的i的个数为s(k)，k为n的约数$，
则 $ans=\sum \left( s \left( k\right) ^{\ast }k\right)$
那么 $s(k)=?$，我们可以由 $gcd(m,n)=k，gcd(m/k,n/k)=1$
得到 $s(k)=phi(n/k)$那么 $phi(n/k)$怎么求呢？
$在数论中，对于正整数n，函数phi(n)的值“小于等于n的数中，与n互质的数的个数”。$
也可以用下面公式计算： $phi(n)=n×(1-1/p1)×(1-1/p2)...×(1-1/pm)，$
$其中p1,p2...pm为n的所有质因数（即又是质数又是n的因数）$。
举个栗子，45有质因数3和5，那么 $phi(45)=45*(1-1/3)*(1-1/5)=24$，所以问题接解决了。
当然我下面的代码没有采用这种方法算phi（n）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	static int f=1;
	static char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
ll n,m,ans;
inline ll phi(ll x)
{
    ll sum=x;
    for (ll i=2;i<=m;++i)
    {
    	if (x%i==0)
    		sum=sum/i*(i-1);
    	while (x%i==0) x/=i;
	}
	if (x>1)
		sum=sum/x*(x-1);
	return sum;
}
int main()
{
	read(n);
	m=(ll)sqrt(n*1.0);
	for (int i=1;i<=m;++i)
		if (n%i==0)
		{
			ans+=i*phi(n/i);
			if (i*i<n)
				ans+=(n/i)*phi(i);
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}