定积分:
定义：是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限；（定积分，与 不定积分 仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！）。
（a,b）上的定积分： 
， ，其中，a称为积分下限，b称为 积分上限；ξi 称为尼曼积；
它有这样的一些属性：
1.任意划分区间； 2. 任意取点； 3.求和； 4.取极限；
其中的划分的区间长度：定义为： λ， 则 有： λ=1/n;
注意： λ-> 0 ===> n->∞, n->∞ ===/=> λ-> 0; 因为n代表份数，当分的份数无穷多的时候，并不能保证分到区间无穷小。
物理意义：
1.曲边梯形的面积； 2. 变速直线运动的路程；
几何意义：
若 f(x) >0， 则为曲边梯形的面积；
若f(x) <0, 则为曲边梯形面积的负数；
若f(x) 有正有负，则为： A1-A2+A3
可积性：
1.在闭区间上连续的函数是可积的；
2.在闭区间上有界，且只有 有限个 间断点的函数 是 可积的；
不可积性：
1.迪利克雷函数： d(x) = 1, x是有理数； =0，x 是无理数；
前n个数的平方和公式： 
定积分与不定积分的唯一联系：
eg: 
自我理解（仅供自己理解用，有可能是错误的）：就幂函数而言， 一个函数具有无数个相差为常数的 不定积分函数，这些函数一定会有一些与x轴相交。任选一个不定积分函数，任取一点 x0,它的函数值 的绝对值 代表了长度信息；长度的起始点必定为零点。 因此，不定积分的函数值 = 该方向上（正负代表方向） 最近的零点 到该点的 原函数的 定积分值。 也即： 该方向上（正负代表方向） 最近的零点 到该点的 原函数与 x的面积。
即： 若： F'(x) = f(x),且 当F(x) =0时，x= x1,x2,x3.... 则 F(a) = 
，其中，φ为同方向上的前一个零点；
另外注意，不定积分函数中，常数项均可以视为0，则幂函数而言，若有定义，总存在F(0) =0; 对于其它基本初等函数，若不存在零点的，就以-无穷或正无穷代替。
定积分性质：
规定：
1.若f(x) ,g(x) 在[a,b]可积，则 
2.若 f(x) 在 [a,b] 可积，则：
3.若 a<c<b， 则： 
4.
以及：
5.若[a,b]上恒有： f(x) >= 0, 则 
推论1： 若[a,b]上，f(x) <= g(x) ,则 
推论2: | 
| <= 
6.若f(x) ∈ [m,M] ，则 有 m(b-a) <= 
<= M(b-a)
7.若f(x) 在 [a,b]上连续，则 [a,b] 上 至少存在一点： ξ, 使得： 
= f( ξ)(b-a), 对 ξ在(a,b)也同样成立； 积分中值定理。 f( ξ) =
，称为函数f(x) 的平均值；
微积分的基本公式:
1.函数的变上限函数(积分上限函数)及其导数：
1.定理一： 若f(x) 在[a,b] 连续，
,则 Φ'(x) = f(x); t代表与x无关的表达式；
2.定理二： 若f(x) 在 [a,b]上连续，则 ： 
2.牛顿-莱布尼茨公式：
若F(x) 是连续函数 f(x) 在 [a,b]上的一个原函数，则 
作用： 利用不定积分求定积分；
推论：
1.变下限函数： 
推论： 
定积分换元法：
假定 f(x) 在[a,b]上连续，x = φ(t),满足： 1.φ(α) = a,φ(β) =b 2.φ(t) 在[α,β]上连续可导，且值域为：R =[a,b]
则有： 
注意：
1.换元 同时 换限
2.只需将新变量t的上下限带入即可，而不用像不定积分那样反解出x；
3.不要求 x= φ(t)是单调的，因为不用回代。
对称区间定理：
奇函数在对称区间的定积分为零；
偶函数： 
eg: 
常见函数的换元技巧：
1.三角函数：
2.周期函数：
，即周期函数 的 定积分值，只与区间长度有关，与起始点无关；
定积分的分步积分公式：
或者
无穷积分：
它的步骤： 1.计算定积分； 2.求极限；
定积分在几何上的应用：
见高等数学下册！