一、常用的裂项相消公式：
常用式：\(\cfrac{1}{n(n+1)}=\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}\)；推广式：\(\cfrac{1}{n(n+k)}=\cfrac{1}{k}(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+k})\)；
常用式：\(\cfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)；推广式：\(\cfrac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}}=\cfrac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})\)；
常用式：\(\cfrac{1}{4n^2-1}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2n-1}-\cfrac{1}{2n+1})\)；
不常用：\(log_a(1+\cfrac{1}{n})=log_a(n+1)-log_an\)。
二、裂项相消公式的记忆方法：
比如，\(\cfrac{2}{(n-1)(n+1)}=2\cdot \cfrac{1}{(n-1)(n+1)}=2\cdot \Box (\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})\)，
那么小括号前面的系数到底该是多少才能使得原式保持恒等变形呢?
我们只需要做通分的工作，将
\(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)(n+1)}=\cfrac{2}{(n-1)(n+1)}\)
故\(\cfrac{1}{(n-1)(n+1)}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})\)，
故上述\(\Box\)位置应该为\(\cfrac{1}{2}\)，
即\(\cfrac{2}{(n-1)(n+1)}=2\cdot \cfrac{1}{2} (\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})=\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1}\)，
再比如\((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=1\)，故\(\cfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
三、裂项相消时常采用的两种书写模式
如数列\(a_n=\cfrac{1}{n(n+2)}\)，求其前\(n\)项和\(S_n\)。
分析：先裂项得到，\(a_n=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2})\)，
则\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)
则往下的求和书写格式有以下两种：
第一种书写格式：横向消项，容易出错；
\(S_n=\cfrac{1}{2}[(1-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5})+\cdots+(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})+(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2})]\)
\(=\cfrac{1}{2}(1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{n+2})\)
第二种书写格式：纵向消项，不易出错，如右图所示；
先得到表达式，然后如右图所示，将每一个小括号写成两列，
\(S_n=\cfrac{1}{2}[(1-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4})+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5})+\cdots+(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})+(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2})]\)
然后如右图所示，将每一个小括号写成两列，很明显可以斜向消项，第一列剩余前两项，第二列剩余后两项，故结果为
\(S_n=\cfrac{1}{2}(1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{n+1}-\cfrac{1}{n+2})\)
在给一个练习题，通过此练习题，更能体会纵向书写的妙处。
\(a_n=\cfrac{1}{n(n+3)}\)，求其前\(n\)项和\(S_n\)。
四、典例剖析：
- 2018天津高考中的一个裂项相消说明：
\(\cfrac{k\cdot 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}=\cfrac{2^{k+2}}{k+2}-\cfrac{2^{k+1}}{k+1}\)是如何变形得到的？
分析： 这样的变形是为了利用数列\(\{\cfrac{2^{k+1}}{k+1}\}\)完成消项。
\(\cfrac{k\cdot 2^{k+1}}{(k+1)(k+2)}\)
\(=2^{k+1}\cdot\cfrac{k}{(k+1)(k+2)}\)
\(=2^{k+1}\cdot \cfrac{2(k+1)-(k+2)}{(k+1)(k+2)}\)
\(=2^{k+1}\cdot (\cfrac{2}{k+2}-\cfrac{1}{k+1})\)
\(=\cfrac{2^{k+2}}{k+2}-\cfrac{2^{k+1}}{k+1}\)