[Luogu P3978] [BZOJ 4001] [TJOI2015]概率论

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题目描述

为了提高智商,ZJY开始学习概率论。有一天,她想到了这样一个问题：对于一棵随机生成的 $n$个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢?

判断两棵树是否同构的伪代码如下：

输入输出格式

输入格式：

输入一个正整数 $n$,表示有根树的结点数

输出格式：

输出这棵树期望的叶子节点数,要求误差小于 $1e-9$

输入输出样例

输入样例#1：

1

输出样例#1：

1.000000000

输入样例#2：

3

输出样例#2：

1.200000000

说明

数据范围

对于30%的数据， $1 ≤ n ≤ 10$

对于70%的数据， $1 ≤ n ≤ 100$

对于100%的数据， $1 ≤ n ≤ 10^9$

解题分析

大佬们都用生成函数做， 蒟蒻只会拿卡特兰数来讨论…

考虑 $n-1$个节点的树， 设 $f(n-1)$表示树的总个数， 其有 $n$种方式在某个位置挂上一个点变成 $n$个点的树， 而这种方式可以看做对应的 $n$的点的树的一个叶节点贡献的方案， 所以实际上叶节点数 $g(n)=nf(n-1)$。

而大家都知道 $f(n)=Catalan(n)$。

所以答案等于 $\frac{nCat(n-1)}{Cat(n)}$。 化简后得到 $\frac{n(n+1)}{4n-2}$。

代码如下：

#include <cstdio>
using namespace std;
int main(void)
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	printf("%.9lf", 1.0 * (n + 1) * n / (1.0 * n * 4 - 2));
}