[Luogu P4451] [BZOJ 2173] [国家集训队]整数的lqp拆分

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题目描述

lqp在为出题而烦恼，他完全没有头绪，好烦啊…

他首先想到了整数拆分。整数拆分是个很有趣的问题。给你一个正整数 $N$，对于 $N$的一个整数拆分就是满足任意 $m>0$， $a_1 ,a_2 ,a_3…a_m>0$，且 $a_1+a_2+a_3+…+a_m=N$的一个有序集合。通过长时间的研究我们发现了计算对于 $N$的整数拆分的总数有一个很简单的递推式，但是因为这个递推式实在太简单了，如果出这样的题目，大家会对比赛毫无兴趣的。

然后lqp又想到了斐波那契数。定义 $F_0=0,F_1=1,F_n=F_n-1+F_n-2 (n>1)$， $F_n$就是斐波那契数的第 $n$项。但是求出第 $n$项斐波那契数似乎也不怎么困难… lqp为了增加选手们比赛的欲望，于是绞尽脑汁，想出了一个有趣的整数拆分，我们暂且叫它：整数的lqp拆分。

和一般的整数拆分一样，整数的lqp拆分是满足任意 $m>0$， $a_1 ,a_2 ,a_3…a_m>0$，且 $a_1+a_2+a_3+…+a_m=N$的一个有序集合。但是整数的lqp拆分要求的不是拆分总数，相对更加困难一些。

对于每个拆分，lqp定义这个拆分的权值 $F_{a1}F_{a2}…F_{am}$，他想知道对于所有的拆分，他们的权值之和是多少？

简单来说，就是求
$\sum\prod_{i=1}^m F_{a_i}$​
$m>0$
$a_1,a_2...a_m>0$
$a_1+a_2+...+a_m=N$

由于这个数会十分大，lqp稍稍简化了一下题目，只要输出对于 $N$的整数lqp拆分的权值和 $mod (10^9+7)$输出即可。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含一个整数 $N$（ $N \le 10^6$）。

输出格式：

输出一个整数，为对于 $N$的整数lqp拆分的权值和 $mod (10^9+7)$。

输入输出样例

输入样例#1：

3

输出样例#1：

5

说明

$F_0=0,F_1=1,F_2=1,F_3=2$。
对于 $N=3$，有这样几种lqp拆分：
$3=1+1+1$, 权值是 $1*1*1=1$。
$3=1+2$，权值是 $1*2=2$。
$3=2+1$，权值是 $2*1=2$。
所以答案是 $1*1*1+1*2+2*1=5$。

解题分析

设 $F(x)$为斐波那契数列的生成函数， $G(x)$为答案的生成函数， 那么有：
$ans[i]=[x^i]\sum_{k=1}^{\infin}F^k(x) \\ =[x^i]\frac{F(x)(1-F^\infin(x))}{1-F(x)} \\ =[x^i]\frac{F(x)}{1-F(x)}$
那么现在问题在于如何求出 $F(x)$。

可以这样构造：

0    1    0    0    0...  (x)
0    0   f(1) f(2) f(3)...  (xF(x))
0    0    0   f(1)  f(2)... (x^2F(x))

就有 $F(x)=x+xF(x)+x^2F(x)$。

解得 $F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}$。

代入得 $G(x)=\frac{x}{1-2x-x^2}$

就有 $G(x)=2xG(x)+x^2G(x)+x$

而我们知道， $x^k$的意义是将所有数列向右平移 $k$位， 所以就有 $dp[i]=2dp[i-1]+dp[i-2]$。

$x$的意义是 $dp[1]=1$。

代码如下：

#include <cstdio>
#define R register
#define MOD 1000000007
int dp[1005000];
int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n); dp[1] = 1;
    for (R int i = 2; i <= n; ++i) dp[i] = (dp[i - 1] * 2 % MOD + dp[i - 2]) % MOD;
    printf("%d", dp[n]);
}