机器学习：信息熵，基尼系数，条件熵，条件基尼系数，信息增益，信息增益比，基尼增益，决策树代码实现（一）

初始化，涉及到使用的变量：

# =============================================================================
# 计算信息量的相关算法
# =============================================================================
import math
import numpy as np

class Cluster:
    def __init__(self,x,y,sample_weight=None,base=2):
        # 记录数据集的变量为numpy数组
        self._x,self._y = x.T,y
        # 利用样本权重对类别向量计数,self._counters样本各个类别的计数
        if sample_weight is None:
            self._counters = np.bincount(self._y)
        else:
            self._counters = np.bincount(self._y,weights = sample_weight*len(sample_weight))
        # 记录样本权重的属性
        self._sample_weight = sample_weight
        # 记录中间结果的属性
        self._con_chaos_cache = self._ent_cache = self._gini_cache = None
        # 记录对数的底的属性
        self._base = base

信息熵

定义公式，经验公式

代码：

    # 定义计算信息熵的函数，默认计算整个样本信息熵，self._ent_cache就是样本信息熵
    # 子样本信息熵需要给出每个类别的数量
    def ent(self,ent=None,eps = 1e-12):
        # 如果已经计算过，且调用时没有额外给各类别样本的个数，就直接返回调用结果
        if self._ent_cache is not None and ent is None:
            return self._ent_cache
        
        _len = len(self._y)
        # 如果没有给出各类别样本的个数，就是用结构本身的计数器来获取相应的个数
        if ent is None:
            ent = self._counters
        
        # eps使算法的稳定性更好
        _ent_cache = max(eps,-sum(
                [_c / _len*math.log(_c / _len,self._base) if _c !=0 else 0 for _c in ent]))
        
        # 如果调用时没有给出各个类别样本数量，就将计算的信息熵保存下来
        if ent is None:
            self._ent_cache = _ent_cache
        return _ent_cache

基尼系数

定义公式，经验公式

代码：

    # 计算基尼系数,p为各个分类数量
    def gini(self,p=None):
        if self._gini_cache is not None and p is None:
            return self._gini_cache
        _len = len(self._y)
        # 如果没有给出各类别样本的个数，就是用结构本身的计数器来获取相应的个数
        if p is None:
            p = self._counters
        _gini_cache = 1-np.sum((p/_len)**2)
        
        if p is None:
            self._gini_cache = _gini_cache
        
        return _gini_cache

条件熵，条件基尼系数

条件熵定义公式，经验公式

条件基尼系数定义公式，经验公式

代码：

# =============================================================================
#     定义计算H(y|A)和 Gini(y|A)
# =============================================================================
    def con_chaos(self,idx,criterion="ent",features=None):
        # 根据不同的准则调用不同的方法, lambda input:output
        if criterion == "ent":
            _meghod = lambda Cluster: Cluster.ent()
        elif criterion == "gini":
            _meghod = lambda Cluster: Cluster.gini()
        
        # 获取相应纬度的向量，也就是feathure A ,是一个[N]的行向量
        # data为feature = idx的N个数据的feathureValue
        data = self._x[idx]
        # 如果没有给出该feathure的取值空间，就调用set函数自己算出来
        # 调用set比较耗时，决策实现尽量传入features
        # features为该feature的取值空间
        if features is None:
            features = set(data)
            
        # 获取这个feature下的各个featureValue在data中的位置
        # 返回的是[featureValue,对应的mask]
        tmp_labels = [data == feature for feature in features]
        # 在这个函数里没有使用，记录下来后面会用
        # [featureValue,对应的它的样本数量]
        self._con_chaos_cache =[np.sum(_label) for _label in tmp_labels]
        # 利用mask获取每个featureValue对应的y样本
        # [featureValue,对应他的y样本]
        label_lst = [self._y[label] for label in tmp_labels]
        
        # 上面的操作就是为了获取mask,从而获取:在feature=idx,取m个不同featureValue
        # 时，这个时候的x样本和y样本，利用这些样本求信息增益的后半部分
        
        # 记录H(y|A)最后计算结果
        rs =0
        # 记录每一个featureValue对应的信息增益的后半部分，
        # 也就是条件不确定度，后面决策树生成会用到
        chaos_lst =[]
        
        for data_label,tar_label in zip(tmp_labels,label_lst):
            # 获取对应的x样本,mask使用条件row=column,所以需要转置，
            # 匹配的y样本就是tar_label，名字取得有点问题，应该叫tar_data
            tmp_data = self._x.T[data_label]
            
            if self._sample_weight is None:
                # 恕我直言这个地方没必要用_meghod，有点炫耀技术，应该可以直接调用吧
                _chaos = _meghod(Cluster(tmp_data,tar_label,base=self._base))
            else:
                _new_weights = self._sample_weight[data_label]
                _chaos = _meghod(Cluster(tmp_data,tar_label,_new_weights/np.sum(
                        _new_weights),base=self._base))
            # 计算信息增益外面的那个求和，注意负号在里面计算互信息里计算过了
            # 把m个featureValue遍历完毕，就计算出了H(y|A)
            rs +=len(tmp_data)/len(data)*_chaos
            # 记录各部分条件不确定度，后面决策树生成会用到
            chaos_lst.append(_chaos)
            
        return rs,chaos_lst

信息增益，信息增益比，基尼增益

信息增益

信息增益比

$H_A(y)$的定义和经验求法：


可以看出也可以使用熵的函数求解。

基尼增益

代码：

# =============================================================================
#     计算信息增益
# =============================================================================
    # get_chaos_lst用于控制输出
    def info_gain(self,idx,criterion="ent",get_chaos_lst=False,features=None):
        # 依据不同的准则，获取相应的条件不确定度
        if criterion in ("ent","ratio"):
            _con_chaos,_chaos_lst =self.con_chaos(idx,"ent",features)
            _gain = self.ent() - _con_chaos
            
            # 我们知道g_ratio(y,A) = g(y,A)/H_A(y)
            # self._con_chaos_cache :[featureValue,对应的它的样本数量]
            # H_A(y)如何求？根据他的经验熵公式，只要把[featureValue,对应的它的样本数量]
            # 带入计算就可以了
            if criterion == "ratio":
                _gain /= self.ent(self._con_chaos_cache)
                
        elif criterion == "gini":
            _con_chaos,_chaos_lst =self.con_chaos(idx,"gini",features)
            _gain = self.gini() - _con_chaos
        
        return (_gain,_chaos_lst) if get_chaos_lst else _gain