hohor学习日记：hiho一下第五十八周

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题意分析

给定字符串S，判定S是否存在子串S’满足"aa…abb…bcc…c"的形式。其中abc为连续的三个字母，且a,b,c的数量相同。

原题目中数量相等的连续n(n>3)个字母也是可行的，而实际上当n>3时一定包含有n=3的情况。比如"abcd"就包含有"abc"和"bcd"两个合法子串。

算法分析

最基本的思路为对S的每一个子串进行判定是否满足要求。枚举子串的起点、终点以及检查是否合法。

假设S的长度为N，则时间复杂度为O(N^3)。

For i = 0..N-1
    For j = 0..N-1
        check(S[i..j])
    End For
End For

这样的做法对于N稍大的数据来说就会超过时限。

进一步考虑，由于合法子串中相同的字母总是连续的，我们不妨用(c,n)来表示一串连续相同的字母，比如"aaa"表示(a,3)，"bb"表示为(b,2)。

我们将整个字符串S用(c,n)表示，得到{(c[1], n[1]),(c[2],n[2]),…,(c[t],n[t])}的序列。其中我们合法的子串也可以表示为{(a,n),(b,n),(c,n)}。

则算法改变为在序列{(c[1], n[1]),(c[2],n[2]),…,(c[t],n[t])}中判定是否存在连续的3个元素满足c[i],c[i+1],c[i+2]连续且n[i] == n[i+1] == n[i+2]。

预处理时间为O(N)，得到的序列长度最大为N，所以整体的时间复杂度降低为O(N)。

For i = 1 .. t-2
    If (c[i]+1 == c[i+1] and c[i+1]+1 == c[i+2]) and (n[i] == n[i+1] == n[i+2])
        Return True
    End If
End For

然而实际运行会发现，这个算法是不正确的。比如：“aaaabbccc”，其对应的序列为{(a,4),(b,2),(c,3)}，根据我们上面的算法并不能找到合法子串。但实际上存在合法子串"aabbcc"。

很显然，问题出在我们对于n[i],n[i+1],n[i+2]的判定上。通过上面的反例我们可以发现，在子串中n[i],n[i+2]的值其实是可以变动的，唯一固定的是n[i+1]的值。当n[i]>n[i+1]时，我们只要删去前面的若干个字母，就能够使得n[i]==n[i+1]。同理对于n[i+2]>n[i+1]时，我们删去后面的字母。因此只要有n[i]>=n[i+1],n[i+2]>=n[i+1]，就一定能够通过变换使得n[i] == n[i+1] == n[i+2]。

改正后我们的算法代码为：

For i = 1 .. t-2
    If (c[i]+1 == c[i+1] and c[i+1]+1 == c[i+2]) and (n[i] >= n[i+1] and n[i+1] <= n[i+2])
        Return True
    End If
End For

结果分析

在实际的比赛中，该题目的通过率仅为26%。

但根据赛后的统计结果，大部分的选手都使用了朴素的算法通过了规模较小的数据点。在该题目上获取了10~60不等的分数。

其中比较有意思的是有一位选手仅仅判定连续3个字母是否连续，也获得了60的分数。

而分布在70~90分数段的程序，随机抽取了若干样本，发现大多数都是想到了正确算法的。而导致他们丢分的主要原因则是多组数据产生的初始化问题。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define LL long long
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e7 + 5;
const double eps = 0.00000001;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int c[maxn], m[maxn];

bool solve() {
    LL n;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    memset(m, 0, sizeof(m));
    cin >> n;
    string ss;
    cin >> ss;
    int cnt = 0;
    c[0] = ss[0];
    m[0] = 1;
    for (LL i = 1; i < n; i ++) {
        if(ss[i] != ss[i - 1]) {
            cnt ++;
            c[cnt] = ss[i];
        }
        m[cnt]++;
    }
    for (LL i = 1; i <= cnt - 1; i ++)
        if(c[i - 1] + 1 == c[i] && c[i] + 1 == c[i + 1] && m[i - 1] >= m[i] && m[i] <= m[i + 1]) return true;
    return false;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T--) {
        if(solve()) cout << "YES\n";
        else cout << "NO\n";
    }
    return 0;
}