第二次讲课内容（函数和快速幂）

函数

在c语言中 main() 就是一个函数，它是程序的主函数。

函数定义的一般格式：

返回类型 函数名(参数列表){
	函数体
}

返回类型

• 一个函数可以返回一个值，返回类型就是对应的值的类型。常见的有int、long long、bool、double、float，如果函数没有返回值就用void

函数名

• 自定义名称
• 字母、数字、下划线混合使用，但是只能以字母或下划线开始

参数列表

• 传递参数时要和参数列表中的顺序、数量、类型相对应
• 参数是可选的，函数可以不包含参数

函数体

• 自定义的执行语句

实例

自定义Max()，返回num1，num2中的最大值

int Max(int num1, int num2) {

	if (num1 > num2)
		return num1;
	else
		return num2;
}

函数声明

• 函数声明告诉编译器函数的名称、如何调用函数

• 一般格式为返回类型 函数名(参数列表);

• 对于上面定义的 Max() 函数，声明函数为int Max(int num1, int num2);

• 在函数声明中参数的名称不重要，参数的类型是必要的。因此也可以这样声明int Max(int, int);

函数的调用

函数定义之后，通过调用完成指定的操作， 当程序调用函数时，程序就会执行函数体中的语句直到执行完毕return返回，这样就完成了一次调用

#include <iostream>
using namespace std;
int Max(int num1, int num2) {

	if (num1 > num2)
		return num1;
	else
		return num2;
}

int main() {

    int a = 10;
    int b = 20;
    // 调用函数并输出结果
    cout << Max(a, b) << endl;
    
    return 0;
}

小练习

• 判断闰年
• 求圆的面积

快速幂

问题

求 $a^{b} \%p$

思路

• 最容易想到的是循环求值，循环操作b次每次乘以a，时间复杂度O(n)

int p = 10000007;
int a = 2, b = 10;
int ans = 1;
for (int i = 1; i <= b; ++i) {
	ans = (ans * a) % p;
}
cout << ans << endl;

• 当指数很大的时候上面的方法就有些慢，这里我们就学习一下快速幂的方法

例如我们求
$\begin{aligned} 2^{11} &=2^{(1011)_{2}} \\&=2^{8}\times1\times2^{4}\times0\times2^{2}\times1\times2^{1}\times1 \end{aligned}$
通过观察上式，我们可以将指数转化为2进制，变量Ans记录结果，变量T记录当前二进制对应的值，不难发现二进值每高一位，对应的 $\ T=T^{2}$，而二进制的状态0和1表示是否要乘上T

typedef long long LL;
LL quick_pow(LL a, LL b, LL p) {
    LL t = a;
    LL ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)	// 判断当前二进制是否为1
            ans = (ans * t) % p; 	// 如果为1更新ans
        t = (t * t) % p; // 更新下一位的值，并把指数的二进制后移一位
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}