习题7.1
6. 祖先问题要求在一棵给定的n顶点二叉树中，确定一个顶点u是否是顶点v的祖先。设计一个属于O(n)的输入增强算法，使我们可以在常量时间内获得树的每一对顶点的足够信息，来对问题求解。
分析：一个顶点u是顶点v的祖先，当前仅当先序遍历u在v的前面，并且后序遍历u在v的后面。第一个条件，先序遍历u在v的前面，代表要么u是v的祖先，要么u在公共祖先的左子树中而v在公共祖先的右子树中；第二个条件，后序遍历u在v的后面，代表要么u是v的祖先，要么u在公共祖先的右子树中而v在公共祖先的左子树中。综合两个条件，我们可以知道确定一个顶点u是否是顶点v的祖先，其充分必要条件是先序遍历u在v的前面，并且后序遍历u在v的后面。
解答：在O(n)时间对二叉树进行先序遍历和后序遍历，在常量时间内对需要比较的两个节点在先序和后序中比较次序，确定顶点u是否是顶点v的祖先。
8.最小距离排序 在美术馆大厅，有10个古埃及石像放置成一排。新的馆长希望移动它们按照高度大小顺序放置，要怎样移动才能使所有石像的移动总和最小呢？为了简化问题，假设石像的高度都不相同。
解答：通过比较计数排序计算每个雕像的位置，也就是算出比该雕像高度更低的雕像数目为Count数组，然后根据计数来移动雕像位置。扫描Count数组，找到第一个不在正确位置的雕像，即Count[i]≠i，将该雕像从当前位置移动到正确的位置Count[i]，然后再把Count[i]位置的雕像移动到Count[Count[i]]位置上，以此类推，直到有雕像移动到了i位置，则完成了一轮移动。此时若还有雕像不在正确位置上，则继续执行上述步骤，直到所有的雕像都在正确位置上。由于每个雕像都直接移动到最终位置，因此该算法显然最小化了雕像移动的总距离
习题7.2
2. 考虑使用Horspool算法在DNA序列中查找基因的问题。一个DNA序列是由来自字母表{A,C,G,T}的文本表示的，而基因或者基因片段就是模式。
a.为第10对染色体中的下列基因片段构造一个移动表：
TCCTATTCTT
解答：
| 字符 |
A |
C |
T |
其他字符 |
| 移动距离tc |
5 |
2 |
1 |
10 |
b.用Horspool算法，在下列DNA序列中为上面这个模式定位：
TTATAGATCTCGTATTCTTTTATAGATCTCCTATTCTT
解答：
T T A T A G A T C T C G T A T T C T T T T A T A G A T C T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T
T C C T A T T C T T
11.给定两个长度都为n的字符串S和T，需要确定其中一个字符串是否为另一个字符串循环右移之后的结果。例如，PLEA是由LEAP循环右移一位产生的字符串，反之亦然。
a. 设计一个空间效率较高的算法解决该问题，并说明算法的空间和时间效率类型。
解答：
Algorithm RightCyclicShift(S[0..n - 1], T [0..n - 1])
//Checks by brute force whether string T is a right cyclic shift of string S
//Input: Strings S[0..n - 1] and T [0..n - 1]
//Output: Returns true if T is a right cyclic shift of S and false otherwise
for i ← 0 to n - 1 do //try cyclic shift i positions to the right
k←0 //number of matched characters
while k ≤ n− 1 and S[(i + k) mod n] = T [k] do
k← k + 1
if k = n return true
return false
该算法空间复杂度O(1)，时间复杂度O(n^2)
b. 设计一个时间效率较高的算法解决该问题，并说明算法的空间和时间效率类型。
解答：将S的前n-1个字符复制添加到S的末尾形成一个新的字符串，然后用Boyer-Moore算法搜索该字符串是否包含字符串T。该算法的时间复杂度（包含末尾添加字符和搜索字符串）为θ(n),空间复杂度(包含后缀和移动表)为θ(n)+θ(m)，m为搜索字符串中的字符数。
习题7.3
5.生日悖论 生日悖论问的是，当一个房间里有多少人时，其中两个人的生日（月和日）相同的概率大于1/2？这个问题的答案十分出人意料，请试着求解。对于散列来说这个结论意味着什么？
解答：
，解得n=23。这个结论意味着，即使哈希表的大小比键的数量大得多（大于10倍），我们也不能忽略冲突。
习题7.4
6. a.自顶向下2-3-4树是一棵次数为4的B树，并对B数的插入操作做如下改动：一旦为一个新建的查找叶子节点时遇到的一个满节点（也就是一个包含3个键的节点），就把该节点分裂为两个节点，并把它们的中间键交给原来节点的父母（如果满节点恰好是根，就为中间键创造一个新的根）。向一棵空树连续插入下面这个键的列表，来构造一棵自顶向下的2-3-4树。
a. 10,6,15,31,20,27,50,44,18
解答：
b. 和2-3树的插入过程比起来，这个插入过程的主要优点是什么？主要缺点又是什么？
解答：优点是一个满节点的分裂不会导致该节点的祖先链路上的连锁分裂；缺点是我们可能会得到一棵过高的树。