Codeforces Round #520 (Div. 2) - B. Math - （分解质因子）

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题目链接：http://codeforces.com/contest/1062/problem/B

题意：给出n，有两种操作：

1. 令n=sqrt(n);
2. 令n=n*x；这里x是任意正整数。

问最少经过多少次操作可以使得n达到一个可以达到的最小值。输出最小值和最小操作次数。

解析：先将n分解质因子，假设n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak。观察操作1和操作2，发现n能达到的最小值就是p1*p2*...*pk；

再求最小次数过程重复如下：

1. 如果a1、a2......ak都是2的倍数，那么执行sqrt操作，即将所有幂都除2，答案此时+1；
2. 否则找最小的t，满足2^t刚好大于所有ai，此时答案+t+1（+1表示乘以任意正整数x，使得所有质因子的幂均变为2^t；+res表示sqrt操作k次）。这就是最终答案退出即可；

代码（31ms）：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll pow2[105];//预处理2的幂
void init()
{
    for(int i=0;i<=32;i++)
        pow2[i]=1ll<<i;
}

ll len,p[105],num[105];
//len是质因子个数，p[i]是第i个质因子，num[i]是第i个质因子的个数
void init_n(ll n)//分解质因子
{
    len=0;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            p[++len]=i;
            num[len]=0;
        }
        while(n%i==0)
        {
            num[len]++;
            n=n/i;
        }
    }
    if(n>1)
    {
        p[++len]=n;num[len]=1;
    }
}

ll cal(ll x)//计算2的几次幂大于等于x
{
    for(ll i=0;i<=32;i++)
        if(pow2[i]>=x) return i;
    return 0;
}

int main()
{
    init();
    ll n;cin>>n;
    if(n==1)
    {
        cout<<1<<" "<<0<<endl;
        return 0;
    }

    init_n(n);
    ll ans1=1;
    for(int i=1;i<=len;i++)
        ans1=ans1*p[i];

    ll ans2=0;
    while(1)
    {
        bool f=true;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            if(num[i]%2!=0){f=false;break;}
        if(f)//如果所有质因子的幂都是2的倍数，那么执行sqrt操作，即将所有幂都除2
        {
            for(int i=1;i<=len;i++)
                num[i]=num[i]/2;
            ans2++;
        }
        else
        {
            ll res=0;
            for(int i=1;i<=len;i++)//否则找最小的k，满足2^k刚好大于所有质因子的幂
            {
                res=max(res,cal(num[i]));
            }
            if(res==0) break;
            ans2=ans2+res+1;//+1表示乘以x，使得所有质因子的幂均变为2^k；+res表示sqrt操作k次
            break;
        }
    }
    cout<<ans1<<" "<<ans2<<endl;
    return 0;
}