其实从严格意义上说，动态规划，并不是一种算法，而是一种编程技巧，除去无关运算，降低时间复杂度。
举个例子：
经典例子1-阶乘:
递归实现：fac(x)=x*fac(x-1)，临界条件为x==0时，返回1。
以x==4时，解空间树：
递归时由上往下延展，解问题时从下往上。
经典例子2-斐波那契：
fib(x)=fib(x-1)+fib(x-2)。
用递归的方式描述为：
#include<cstdio>
using namespace std;
int fib(int x){
if(x<=1)return 1;
else return fib(x-2)+fib(x-1);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d",fib(n));
return 0;
}
我们假设n为4，那么在跑dfs的时候，生成的解空间树为:
我们可以观察到
1.虽然有生成2^(n-1)个节点，但是实际上有很多节点进行了重复的运算[这棵树有两个Fib(2)和三个Fib(1)]。
2.所有的中间节点在自己所在链未延伸到叶子的时候都是未知解的，但是在伸展到叶子节点时，触碰到了边界条件，最终所有的值都是从叶子向上回填的，解决的问题的规模逐渐变大，因此才触发了从小规模向大规模计算以优化dfs的动态规划技巧。
经典例题3-汉诺塔：【下面将逐步开始讲一些隐藏在条件内的动态规划】
汉诺塔的问题是给三根杆子A,B,C，在A上有n个盘子，要求你把这n个盘子放到C上去，盘子之间有大小关系，刚开始在A上的盘子从上至下是从小到大的，不能把大盘子放到小盘子之上。
我们先以n=3为例分析一下过程：
1.先将1从A->C
2.然后将2从A->B
3.再将1从C->B
4.最后将3从A->C
于是，当C上有一个盘子之后，B上累加有n-1个盘子，现在我们完全可以把B当作A’，将A当作B‘，于是问题变成了将A‘上的n-1个盘子放到C上。
总结一下过程：
1.先将n-1个盘子从A->B
2.将n号盘子从A->C
3.将n-1个盘子从B->C
于是问题的规模公式为T(n)=T(n-1)+1+T(n-1)->T(n)=2*T(n-1)+1。
边界条件为：T(1)=1。
反推得到T(n)=2^n-1，即为汉诺塔在n规模下需要的最小步数。
正常会对1步骤有疑问，因为在递归过程里他们没有显式表现出来，但是实际上由于解决1步骤的过程和3步骤是一样的，因此直接当作是一个子问题的递归过程就行。由于C杆上放的是每次递归规模下的最大盘子，因此什么盘子都可以放上去，就可以把它当作是空的。
经典例子4-打印所有序列：给你一个串，求出他的所有子集串。
所有子集？离散数学中称之为幂集。元素个数必定为2^n。
证明：对于每个元素，都有选择和不选两种抉择，n个元素的选择状态就会有2^n。【可以用二进制思考】
经典例子5-求牛的数量：第一年有一头牛，每头牛在第三年可以生小牛，求第n年有多少头牛。
经典例子6-数字路径：一个二维数组，每次可以选择向右或者向下，求一条路径，使得从左上角到右小角经过的数字和最小。
对于任意一个非边界位置位置(i,j)，每次可以选择走(i+1,j)或者(i,j+1)。
我们来看看重复计算，以2*3的矩阵为例：
7 2 3
6 4 9
递归的解空间树：
显而易见，有重复的待求解状态状态。
这里我们可以普及几个名词了：
无后效性：当我们要求(2,2)->(2,3)的最短路径大小时，对于(1,1)来说，他可以通过向右再向下(1,1)->(1,2)->(2,2)到达该点，也可以通过先向下后向右(1,1)->(2,1)->(2,2)到达该点。无效性指的是(2,2)->(2,3)的最短路径的求解与如何从(1,1)->(2,2)的过程无关。
重复计算：在朴素递归中，由于不会记录已经计算过的小状态，所以当第二次碰到的时候，依旧得重新算一次，属于重复的冗余计算。
经典例子7-凑数：有一个数组，现在给出目标和值aim，问是否可从这些初中选出一些数，正好能凑出数aim。
当我们从这些数中选数的时候，实际上对于任意一个数，都有两种选择(选或不选)
#include <cstdio>
int Arr[105];
bool isOk[105][105];
int main() {
int n,aim,sum=0;
scanf("%d%d",&n,&aim);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&Arr[i]);
sum+=Arr[i];
}
isOk[n][aim]=true;
for(int i=n-1;i>=0;i--){
for(int j=sum;j>=0;j--){
if(j+Arr[i+1]<=sum)
isOk[i][j]=isOk[i+1][j]||isOk[i+1][j+Arr[i+1]];
else isOk[i][j]=isOk[i+1][j];
}
}
printf("%s",isOk[0][0]?"Ok":"NotOk");
return 0;
}经典例子8-凑硬币：
你有1元，2元，5元硬币各无数个，现在给出x，要求你用最少的硬币凑出x块钱。
对于每个规模n，分别求dfs(n-1)、dfs(n-2)、dfs(n-5),分别表示在有n-1时拿1个1元、在有n-2时拿1个2元、在有n-5时拿1个5元：
边界条件：
1.如果规模n<0，表示不可行解，则忽略此种情况
2.如果规模n=0，表示正好凑数了原问题n的解
以x=6为例，解空间树为：
太庞大了，博主懒得画完了>-<，反正可以显然看出这里有很多的重复计算。
经典例子9-最长上升子序列：
有一个数串，先在要求你找出一个序列，使得这个序列保持单调递增性，并且给出最大的长度。
思路：假设我们考虑以Ai为结尾元素，用Bi表示以Ai结尾的最长上升序列的长度，当我们要求Bi+1的时候，我们需要用索引index遍历一遍B数组前面的i个数，如果Aindex<Ai+1，那么就可以把Aindex所拥有的最长上升子序列后面接上Ai+1得到Bi+1，在这i个数中求最大值即可，时间复杂度O(n^2)。
优化：如果我们已经有了长度为len的序列，为了使得这个序列更长【后面可接上的数更多】，那就要求在这个长度下的结尾元素尽可能的小。我们设array[i]表示长度为i时，最小的结尾元素。因此当考虑Ai+1的时候，对array数组二分，更新array即可，最长上升子序列长度就是array数组的长度。
改：最长非下降子序列：用upper_bound()得到第一个比自己大的数即可。
改2：最长非上升子序列：可以用映射将数据的大小关系逆转，就变成了一个最长非下降子序列问题。
经典例子10-最长公共子序列
给两个串，求他们的最长公共子序列。
思考：
1.如果Ai==Bj，那么我们只要知道A1~Ai-1和B1~Bj-1的最长公共子序列即可。
2.如果Ai！=Bj，那么我们应该求的是A1~Ai-1与B1~Bj的最长公共子序列长度和A1~Ai与B1~Bj-1的最长公共子序列长度的大值。