数据库系统概论__B+树的实现

第一部分：B+树的定义

引用维基百科上关于B+树的定义。B+树关键字个数等于孩子个数-1；这一点是和B树等价的。如下图所示的就是一个4阶B+树。除此之外，B+树还要满足下列条件：

（1）B中包含两种类型的节点，内部节点（也称之为索引节点）和叶子节点，根节点本身可以是内部结点，也可以是叶子节点。根节点至少有一个关键字key。

（2）B+树的内部结点不用于保存数据，只用于索引，所有记录都保存在叶子节点里面。

（3）m阶的B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字。阶数同时限制了叶子节点最多存储m-1个记录。（内部最少有Mah.ceil(m/2.0)-1个关键字）

（4）部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。

（5）每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

第二部分：B+树的搜索

第三部分：B+树的插入

（1）若是为空树，则创建一个叶子节点，然后将记录插入其中。此时这个叶子节点也是根节点，插入结束。

（2）针对叶子类型结点：根据key值找到叶子节点，向这个叶子插入记录。插入后，若当前节点key的个数小于等于m-1则插入结束。否则将这个叶子节点分成左右两个叶子节点。左叶子节点包含前m/2个记录，右结点包含剩下的记录。中间节点记录的key进位到父结点中（这里的中间节点如果是5阶的B+树，则有将第三个记录key上移如果key =6 的话无论是移动第三个还是第四个是等价的，我们这里选择的是移动第三个（Math.ceil(m/2.0)））,进位到父结点的key左孩子指针指向左结点，右孩子指针指向右结点。将当前节点的指针指向父节点，然后执行第3步。

（3）针对索引类型的结点：若当前节点key的个数小于等于m-1，则插入结束，否则，将这个索引节点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前面（m-1）/2个key,右边包含m-（m-1）/2个key 个key，将第Math.ceil(m/2.0)个key进位到父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点, 进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第3步（[*******]比如m=5 则将第三个节点放置于父结点之上。m =6的时候，则将第三个节点放置于父结点之上。）

示例：5阶B数的插入操作 5阶B树中间节点至少有两个关键字 最多有4个关键字

(1)插入 5，8， 10，16 15

调整：

（2）插入17 18

调整：

（3）插入6 9 19 20 21 22

a）插入6 9 19 20

调整：

b）插入21 22

调整：

（4）插入7

调整：

当前结点的关键字个数满足条件，插入结束。

第四部分：B+树的删除

如果叶子中没有相应的key 则删除失败否则进行下面的步骤

（1）删除叶子节点中对应的key 删除后若节点的个数大于等于Math.ceil(m/2.0)-1，删除操作结束，否则操作进行第2步

（2）若兄弟节点key有富余（大于Math.ceil(m/2.0)-1）向兄弟节点借一个记录，同时用借到的key替换父结点中的key（指的是当前节点和兄弟节点共同的父结点），删除结束。[这个地方有疑问，是这样的过程：首先删除节点向父节点借一个节点，使当前的节点满足B树的条件，然后再从富余的兄弟节点拿出一个key给父亲这样的话依然满足B树的条件这种想法是错误的因为非页子节点中只有索引]

（3）若兄弟节点没有富余的key，那么则把当前节点和兄弟节点合并成为一个新的叶子节点，并删除父节点中的key（这个时候，父节点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向新的叶子节点），将当前节点指向父节点（索引节点），执行第四步(第4步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点)

(4)若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2.0) – 1，则删除操作结束。否则执行第5步

(5）若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步

(6）当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步。