今天学习的是余数，很常见的知识。
生活中的余数
在生活中有很多用到余数的例子，最常见的一周七天。譬如今天周六，那50天后是周几呢？
答案显而易见，50除以7得商7余数为1，在今天的基础上加1，50天后就是周日。这是日常生活中的例子，而在web编程中，我们有分页的概念，譬如有1234条数据，每页10条，请问需要多少页？1234除以10得商112余数4，那就是112页加上最后4条数据构成的1页，一共113页。
以上两个小例子，我们可以发现余数总是在一个固定的范围内。然而众所周知，整数是没有边界的，可余数却能够通过某一个种关系，让整数处于一个确定的边界。如上面的例子，一周七天让时间确定在了这周一到周日的7天中，假设今天是周一，那第8天、第15天还是周一，这些书除以7得到的余数都是一样的。这样一个现象被归纳总结为同余定理。
同余定理
同余定理，就是两个整数a和b，如果它们除以正整数m得到的余数相等，那就可以说a和b对于模m同余。
同余定理还有一个很常见的应用就是奇偶数，它的模也就是2，一个数除以2得余数为0，表示为偶数；一个数除以2得余数为1，表示为奇数。
同余定理的用途
同余定理可用来分类。对于无穷多的整数，同余定理帮助我们全面、多维度管理这些整数。因为不管模是多少，最终得到的余数肯定在一个确定的范围内。譬如，模为2，余数范围0-1；模为7，余数范围0-6。按照这个方式就能够把无穷多的整数分成有限个类。正是这一点，在计算机中是大有用途的。
哈希函数，将任意长度输入，通过哈希算法，压缩为某一固定长度的输出。这一思路和上面的同余定理如出一辙。
散列表（Hash table，也叫哈希表），是根据关键码值(Key value)而直接进行访问的数据结构。也就是说，它通过把关键码值映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度。这个映射函数叫做散列函数，存放记录的数组叫做散列表。
给定表M，存在函数f(key)，对任意给定的关键字值key，代入函数后若能得到包含该关键字的记录在表中的地址，则称表M为哈希(Hash）表，函数f(key)为哈希(Hash) 函数。
举个例子，快速读写100万条数据记录。为达到告高速存取的最理想情况就是开辟一个连续空间存放，这样可减少寻址时间。但实际上无法满足如此大的连续空间来存放数据，这时，我们就可以用之前那个分页的概念。看系统中是否能提供若干个连续空间，每个空间又可以存放一定数量的记录，这些空间加起来就正好满足100万条记录。那么就可以使用余数和同余定理来设计一个散列函数，实现哈希表的结构。
首先，我们可以根据需求列出一个表达式：f(x) = x mod size
表达式中 x 表示等待被转换的100万条数据中的1条记录数值，mod 为取余操作，size 表示有限的存储空间大小。通过余数，可以将任何数值转化成有限范围内的数值，然后根据这个新的数值来确定记录应该存放在哪个空间。
假设，有限存储空间大小为100，那么就可以通过记录标号模100的余数指定某条记录存放在哪个空间。譬如有2条记录分别为1和101，它们模100之后的余数为1，让这样的记录存放在我们自定义为1的那个空间中，以此类推，记录2、101和202...余数为2的记录存放在2这个空间里。如此这样我们就能够得到求余的快速数字变化，对数据进行分组存放在不同的地址空间中。
除此之外，如果为了增加数据散列的随机程度，可以将公示转变为 f(x) = (x+MAX) mod size，其中MAX是较大的随机数。假设MAX是590199，那么针对标号为1的记录进行重新计算结果为0，标号为101的计算结果变成了2，这就与先前的情况不同了。这是因为加入了随机数MAX使得记录分配到同一空间中的情况更加“随机”，是适合数据重新洗牌的场景。譬如，加密算法。引入随机数可以增强加密算法的保密程度。
举个列子，加密一个三位数，设定这样一个加密规则：
- 先对三位数的个十百位的数加上个MAX
- 然后将每位上的数除以7，用所得到的余数替换掉原本的数
- 最后将百位和个位上的数互换位置
这里我们假设三位数是625，MAX为590127。那么百位上相加结果为590133，十位590129，个位590132，它们除以7得到的余数是百位上5，十位上1，个位上4，互换百位和个位，最终结果就是415。
这就是一个很简单的加密算范，把原本一个数通过加密变完全变个样，只有知道加密规则才可以通过反推得到原本的数。而这里面恰恰最重要的思想就是余数的运用。