11、数据链路层的设计问题与差错检测纠正（数据链路层）

1、数据链路层的设计问题

引言

数据链路层主要完成的功能包括：（1）向网络层提供一个定义良好的接口（2）处理传输错误（3）调节数据流，确保慢速接收方不会被快速发送方淹没。
数据链路层将从网络层获取的数据包封装成帧以便传输。每个帧包含一个帧头、一个有效载荷（存放数据包）以及一个帧尾。

1.1提供给网络层的服务

在源机器的网络层有一个实体（称为进程），它将一些比特交给数据链路层，要求传送到目标机器。数据链路层的任务就是将这些比特传输给目标机器，然后交付给网络层，如图a；实际传输如图b，但很容易将这个过程想象成两个数据链路层的进程使用一个数据链路协议进行通信。本章中将隐式使用图a模型。
数据链路层提供的服务因具体协议的不同而有所差异。一般情况下，数据链路层提供以下3种可能的服务：（1）无确认的无连接服务（2）有确认的无连接服务（3）有确认的有连接服务
无确认的无连接服务是指源机器向目标机器发送独立的帧，目标机器并不对这些帧进行确认。以太网就是一个提供此类服务的数据链路层极好实例。这种连接，事先不必建立逻辑连接，事后不必释放连接；若由于线路噪声造成了某一帧的丢失，数据链路层并不试图检测这种情况，更不会恢复。这类服务使用于两种场合：一种是错误率极低的场合，差错恢复可以由上层完成；一种是实时通信，及时交付比准确交付更重要。
有确认的无连接服务。当网络层提供这种服务时，数据链路层仍然没有建立逻辑连接，但发送的帧需要单独确认，使发送方知道发送帧是否到达目的地。如果没有在一个指定的间隔到达，则发送方再次发送该帧，但可能导致一个帧被收发多次，浪费带宽。这类服务适用于不可靠信道，比如无线系统。802.11（WiFi）是此类服务的一个例子。
有确认的有连接服务。发送方和接收方在传输数据之前需要建立一个连接，连接上发送的每一帧都被编号，数据链路层保证发出的每一帧都被接收方收到。它还保证每个帧只被接收一次，并且按正确的顺序接收。它适用于长距离且不可靠的链路，比如卫星通信或者长途电话电路。

1.2成帧

物理层所做的只是接收一个原始比特流并传给目标机器，如果信道存在噪声，物理层会在信号中添加某种冗余以便将误码率降到一定程度。但数据链路层接收的比特流并不一定正确，可能出现值的变化或者比特数量的不一致，因而需要检错和纠错。
数据链路层将比特流拆分成多个离散的帧，为每一个帧计算一个称为校验和的短令牌，并插入到帧中传输。目标机器需要重新计算该帧的校验和，如果计算出来的校验和与该帧包含的校验和不同，则数据链路层知道传输过程中出现了错误，它会采取一定措施（比如丢弃或者发回一个错误报告）。
拆分比特流需要使得接收方发现一个帧的开始，同时要使得所用带宽最少。常用的方法有：（1）字节计数法（2）字节填充的标志字节法（3）比特填充的标志比特法（4）物理层编码违禁法
字节计数法。利用头部中的一个字段表示该帧中的字符数。接收方因此知道该帧有多少字节、在哪里结束，如图a。这个算法的问题在于计数值可能因一个传输错误而被弄混。例如第二帧中的计数值5因为一个比特值反转变成7，如图b，那么接收方就会失去同步，它再也不可能找到下一帧的开始处。即使要求重传，接收方也不知道该跳过多少字节才能到达重传的开始处，因而字节计数法使用很少。
字节填充法。它让每个帧用一些特殊的字节作为开始和结束，这些字节称为标志字节。如图a中的FLAG所示。两个连续的标志性字节代表了一帧的结束和开始。因此接收方失去同步也能通过搜索两个标志性字节找到当前帧的结束和下一帧的开始。当标志性字节出现在数据中时，采用特殊的转义字符（ESC）插入其前；接收方的数据链路层在将数据传输给网络层之前必须删除转义字节。如果转义字符也出现在数据中，同样使用一个转义字符插入其前，接收方将删除第一个转义字符。如图b，图中描述的字节填充方案是PPP（Pont-to-Point Protocol）协议使用的略微简化形式（PPP在SONET/SDH链路中使用的是0比特填充法）。
比特填充法。帧的划分可以在比特级完成，因而帧可以包含任意大小单元（而不只是以8比特为单元）组成的二进制比特数。这种方法是为曾经流行的HDLC（高级数据链路控制）协议开发。每帧的开始和结束由一个特殊的比特模式，01111110或十六进制的0x7E标记。这种模式是一个标志性字节。每当发送方的数据链路层在数据中遇到连续5个1，它便自动在输出的比特流中插入一个比特0，接收方会自动删除插入的0。比特填充确保了转换的最小密度，这将有助于物理层保持同步。USB（通用串行总线）采用了比特填充技术。比特填充保证了标志字节只可能出现在帧的边界，而不会出现在帧内数据中。其副作用是一帧的长度取决于它所携带的数据内容。例如，数据中没有标志字节，100个字节数据或许只需要一个100字节左右的帧所携带；然而如果数据全由标志性字节组成，那么每个字节中插入1个0，帧的增幅大约为12.5％。
物理编码违禁法。物理层中叙述的比特编码成信号方法通常包含一些冗余比特，以便帮助接收器同步接收。例如在4B/5B线性编码模式下，4个数据位被映射成5个信号比特，通过这种方法确保线路上的信号有足够的跳变。但32个可用的信号中有16个不会被使用，我们可以利用这些保留的信号来指示帧的开始和结束。
许多链路层协议为安全起见综合使用了这些方法。以太网和802.11使用了共同的分界模式，即用一个定义良好的的比特模式来标识一帧的开始，该比特模式称为前导码。这种定界模式可能很长（802.11典型使用72位），目的是让接收方准备接收输入的数据包。前导码之后是头的长度字段（即计数），这个字段将被用来定位帧的结束处。

1.3差错控制

对于可靠的、面向连接的服务，数据链路层还需要确保所有的帧被传输到目标机器，并且保持正确的顺序。常用方法是向发送方提供一些有关线路另一端状况的反馈信息。通常情况下，协议要求接收方发回一些特殊的控制帧来对它所接收到的帧进行肯定和否定的确认，如果丢失帧，那么这帧必须重传。
如果一帧完全丢失，接收方没有任何根据做出反应，更不知如何处理。在一个协议中，发送方发出来一帧之后就等待肯定或者否定的确认，为了防止接收方的确认帧也丢失，数据链路层引入了计时器。当发送方发出一帧时，还要启动一个计时器。该计时器的超时值应该设置得足够长，以便保证在正常情况下，该帧能够到达接收方，并在接收方处理后再将确认帧返回到发送方。一般情况下，在计时器超时前，该帧应该被正确接收，并且确认帧也被传了回来，在这种情况下，计时器被取消。否则，如果帧丢失或者确认帧丢失，计时器将被触发，从而警告发送方存在一个潜在的问题，一种解决方案就是重传，然而，当有的帧多次发送后，接收方可能多次收到同一帧，并将它多次传输给网络层。为了避免这种情形，一般有必要给发出去的帧分配序号，这样接收方可以根据帧的序号来区分原始帧和重传帧。
管理好计时器以便保证每一帧最终都恰好一次被传输给目标机器的网络层，这是数据链路层（以及上层）工作的重要组成部分。

1.4流量控制

另一个设计问题是如果发送方发送帧的速度超过了接收方接收这些帧的速度，发送方该如何处理。当发送方运行在一台性能强大的计算机上，而接收方运行在一台性能差的机器上时，这种情况便会容易发生。例如一个智能手机向一个超强服务器请求一个web页面，接收方将无法以数据到来的速度那样快地处理持续到来的帧，此时必然会丢弃一些帧。
解决方案有两种。一种是基于反馈的流量控制，接收方给发送方返回信息，允许它发送更多的数据，或者至少告诉发送方自己的情况如何。一种是基于速率的流量控制，使用这种方案的协议有一种内置的机制，它能限制发送方传输数据的速率，而无需利用接收方的反馈信息。
本章将学习基于反馈的流量控制方案，因为基于速率的方案仅在传输层的一部分可见，而基于反馈的方案则可同时出现在链路层和更高的层次。后者近年来较为常见，在这种情况中，链路层硬件设计的运行速度足够快到不会造成丢帧。例如，作为链路层硬件实现的网络接口卡（NIC），有时声称能以“线速”运行，这意味着它们能以帧到达的速度来处理帧。因而，任何过载不在是链路层的问题，它们必须由高层处理。基于反馈的流量控制方案有多种，但大多数使用了相同的基本原理。协议包含了许多定义良好的规则，这些规则规定了发送方什么时候可以发送下一帧，发送方在没有得到接收方允许之前禁止发送帧。

2、差错检测和纠正

引言

通信信道有许多不同特征。光纤很少发生传输错误，其他信道，尤其是无线链路和老化的本地回路错误率相对光纤来说非常高。数据链路层需要处理这些传输错误。
一种策略是在每一个发送的数据块中包含足够多的冗余信息，以便接收方能据此推断被发送的数据是什么。另一种策略也是包含一些冗余信息，但这些信息只能让接收方推断出是否出现传输错误（而不推断是哪个发生了错误），然后接收方请求重传。前一种策略使用了纠错码（也称前向纠错），后一种策略使用了检错码。在高度可靠的信道上（如光纤）较为合理的方法是使用检错码，当偶尔发生错误时重传整个数据块；在错误发生频繁的信道上（比如无线链路）则应使用纠错码，因为重传数据块也可能出错。无论是纠错码还是检错码都有可能出现传输错误，为了避免这种情况，编码必须足够强大到足以应付预期错误。
在两种错误模型中，突发性错误相比单个比特错误各有特点。由于计算机总是成块发送的，假设数据块大小为1000个比特，误差率为每比特0.001。如果错误是独立的，大多数块将包含一个错误，但如果错误以100个比特的突发形式出现，则平均来说100块中只有一块受到影响。突发错误的缺点在于当它们发生时比单个错误更难以纠正。还有一种类型的错误，由于物理层接收到的一个模拟信号远离了0或1的预期值，因而可以宣布该比特被丢失。这种情况称为擦除信道。擦除信道的错误，我们可以知道哪个比特出了错，相比把比特值反转的信道更易于纠错。

2.1纠错码

常用纠错码：（1）海明码（2）二进制卷积码（3）里德所罗门码（4）低密度奇偶校验码。上述所有编码都将冗余信息加入到待发送信息中。一帧由m个数据位（信息）和r个冗余位（校检）组成。在码块中，r个校验码是作为与之相关的m个数据位的函数计算获得的，就好像在一张大表中找到m位数据对应的r校验位。在系统码中，直接发送m个数据位，然后发送r个校验位，而不是在发送前对它们进行编码。在线性码中，r个校验位是作为m个数据位的线性函数被计算出来的。异或（XOR）或者模2加是函数的流行选择，这意味着编码过程可以用诸如矩阵乘法或简单逻辑电路来完成。除非另有说明，本节中考察线性码、系统码和块状码。
令数据块总长度为n（n=m+r），将此描述为（n,m）码，称为n码字。码率定义为m/n。实际上这个码率变化很大，在一个有噪声信道上码率或许是1/2；而在高品质信道上码率接近1，只有少数的校验位被添加到一个大块消息中。

海明码

给定两个被发送或接收的码字，为了确定有多少位不同，只需要异或两个数字，并计算两个结果中的1个数，1的个数称为海明距离。给定计算校检位的算法，完全可以构建一个完整的合法码字列表，然后从这两个列表中找出两个具有最小海明距离的码字，这个距离就是整个编码的海明距离。在大多数数据传输应用中，所有2^m种可能的数据报文都是合法的；但是，根据校验位的计算方法，并非所有2ⁿ种可能的码字都会被用到。事实上，对于r位校验位，可能的报文中只有很少一部分是2^m/2ⁿ（=1/2^r）是合法的码字。正是这种空间稀疏的方法，使得接收方能检测并纠正错误。
块码的检错和纠错特性跟它的海明距离有关。为了可靠地检测d个错误，需要一个距离为d+1的编码方案（如海明距离为2，编码类似于0011、1100，错误的码字是0001，可以知道码字至少有一个错误；如果海明距离为1，则编码类似于0000、0001，这样是无法检测错误码字的），当接收方看到一个无效码字时，它就知道传输发生了错误。类似的，为了纠正d个错误，需要一个距离为2d+1的编码方案，因为只有足够距离的编码方案才能达到纠错的目的。
考虑一个只有下列4个有效码字的编码方案：0000000000、0000011111、1111100000、1111111111。该编码方案的距离是5，这意味着它可以纠正2个位错误或者检测4个位的错。如果接收到码字0000000111并且期望只有单个或2个错误，则接收方一定知道原始码字是0000011111。然而，如果发生3个错误，0000000000变成了0000000111，则就无法纠正错误了。很明显在这个例子中，我们不能同时纠正2个错误和检测4个错误，因为这需要我们用两种不同的方式来解释收到的码字（编码方案也有异）。
设计一种编码方案，每个码字有m个消息位和r个校验位，并且能纠正所有单个错误。对于2^m个合法消息，任何一个消息都对应有n个非法的码字，它们与该消息的距离为1。这些非法码字可以这样构成：将该消息对应的合法码字的n位，逐个取反，可以得到n个距离为1的非法码字。因此。每个2^m中的合法消息需要n+1个位模式来标识它们（如果是n个位模式，那么只能用n个非法码字标识合法的消息了，显然是不合理的；如果有7个模式是非法字符，那么需要第8个模式标识合法消息，注意海明距离是1）。由于总共有2ⁿ个位模式，所有我们必须有(n+1)2^m≦2ⁿ。由于n=m+r，因此上式可以化为(m+r+1)≦2^r。在给定m的情况下，这个条件给出了纠正单个错误所需要的校检位数的下限。
在海明码中，码字的位从左至右被连续编号。2的幂次方位（1,2,4,8等）是校检位，其余位用来填充m个数据位。如图所示，7个数据位和4个校检位。这11个比特都需要校检，第1个比特用第2⁰=1校检位校检，第2个比特用第2¹=2校检位校检，第3个比特用第2⁰=1、第2¹=2（1+2=3）两个校检位校检。换句话说，要检验k位，必须将k改写成2的幂次方之和，例如11=1+2+8，校检1、2和8位就可以确定11是否出错。
此例子中将采用偶校检计算ASCII字母“A”的校检和。首先需要在数据中插入校检码，以2的幂次方插入：？？1？000？001，第一个校检码p₁需要校检的位包括1、3、5、7、9、11，并以此为一组，对应位数的值是？10001，这个组合值中1的个数是偶数，根据偶校检，组合值中1的个数需要保持偶数，那么确定？值是0。依此法，推算出校检码为0001，插入数据中。这种结构给出了海明距离为3的编码，意味着它可以纠正1个错误（或检测2个错误）。当接收到码字后，接收机器重新计算其校检位，得到校检结果，偶校检的结果必须全为0，否则数据就出现了差错。图中接收时，出现了1个错误。将1、3、5、7、9、11位上的组合值异或得到1，将2、3、6、7、10、11位上的组合值异或得到0，依次得到1010，将结果反转得0101，这个0101称为错误综合集，0101=5，按照设计方案，这意味着第五位有误。把不正确的位取反，就可以得到正确消息。

卷积码

海明距离对理解块码是有价值的，而且海明码还被用在纠错存储器中。然而，大多数网络使用了更强大的编码。第二个要考察的编码是卷积码。这是我们讨论中唯一不属于块码的编码。在卷积码中，编码器处理一个输入位序列，并生成一个输出位序列。输出取决于当前的输入和以前的输入（在块码中没有自然消息大小和编码边界），也就是说编码器有内存。决定当前输出的以前输入位数称为代码的约束长度。卷积码由它们的速率和约束长度标识。
卷积码已经被广泛应用于实际部署的网络中，例如它已经成为GSM移动电话系统的一部分，在卫星通信和802.11中都得到应用。图中给出了一个流行的卷积码。这个代码称为NASA（美国航天局）卷积码，其r=1/2和k=7，因为它是第一个被用在1977年的旅行者号航天飞行任务中的编码，现在已成为802.11的一部分。
图中（两个模2加法器，6个寄存器，1个寄存器对应1个位的值）左边每个输入位产生右边的两个输出位。输出位是输入位和内部状态的XOR和。由于它处理的是比特位并执行线性运算，因此是二进制的线性卷积码。又因为1个输入产生2个输出，因此码率为1/2。这里的输出不位是简单的输入位，从而它不属于系统码。内部状态保存在6个内存寄存器中。每当输入一位，寄存器的值就右移一位。例如，输入序列为111，初始状态都是0（6个寄存器中都是1个0值），则在输入第一、二、三位后从左至右的内部状态为100000、110000、111000。对应输出位分别是11、10和01（输入的第一个值是1，与000000异或，图中input到S₁之间的数字是输入值1，该值被连接到一个输出对应的模2加法器，它连接了5个值，最终计算得模2加法器输出处输出1，另一个也是1，所以输入1时，对应输出值是11）。这个过程需要7次移位才能完全清除输入，从而不影响输出，因此该卷积码的约束长度是7。
卷积码的解码过程是针对一个输入位序列，找出最有可能产生观察到的输出位序列。对于较小值的k，一种广泛使用的算法是由Viterbi开发的，该算法逐个检查观察到的序列，记住每一步和输入序列的每个可能的内部状态，即输入序列产生观察序列可能产生的错误。最终其中那个具有最少错误的输入序列就是最有可能的消息。
卷积码实际上非常流行，它之所以很容易被采纳的一个因素在于解码0或1的不确定性。例如，假设-1V表示逻辑0，+1V表示逻辑1，接收方可能接收到的2位分别是0.9V和-0.1V。卷积码不是简单地将这些信号绝对映射成逻辑1和0，而是把0.9V看成“很可能是1”，把-0.1V看成“很可能是0”；从而最终获得正确的整个序列。Viterbi算法的扩展适用于这些不确定因素，因而能提供更强的纠错功能。这种带有1比特不确定性的工作方法称为软判决解码。相反，在执行纠错之前就决定了每个位是0或1的工作方法称为硬判决解码。

里德所罗门码

里德所罗门码是线性块码，而且往往也是系统码。但与海明码不同的是，里德所罗门码对m位符号进行操作，而不是针对单个位处理。由于这将涉及较多数学理论，所以我们将用类比方法描述该方案。
里德所罗门码基于这样的事实：每一个n次多项式是由n+1点唯一确定的。例如，一条具有ax+b形式的线由两个点确定。同一条线上的额外点是冗余的，这将有助于纠错。可以想象有两个数据点代表了一条线，并且我们给这两个数据点额外加上两个校验点，该两个校验点选自同一条线。如果收到的其中一个点出现了错误，我们仍然可以通过接收点的拟合线来恢复这个数据点。三个点将处于同一直线上，而出错的那个点不在这条线上，只要找到这条线，我们就可以纠正错误。
里德所罗门码实际上被定义成在一个有限域上操作的多项式，但工作方式相同。对于m位符号而言，码字长2^m-1个符号。一种流行的选择是m=8，这样符号就是字节。因此，一个码字为255个字节长。（255,233）码被广泛使用，他在233个数据符号上增加了32个冗余符号。带有纠错功能的解码算法有Berlekamp 和 Massey开发，它能有效执行中等长度的解码。
里德所罗门码得到广泛运用的原因还在于其强大的纠错性能，尤其针对突发性错误。它们被用在DSL、线缆上的数据通信、卫星通信、CD、DVD和蓝光光盘。因为它们基于m位符号，因此1位错误和m位突发错误都只是作为一个出错信号来处理。当加入2t个冗余符号后，里德所罗门码能够纠正传输符号中的任意t个错误。例如在（255,233）中，32个冗余符号可以纠正多达16个符号错误。因为符号是连续的，并且每个8位长，所以可以纠正高达128位的突发性错误。在这种情况下，高达2t个错误都可以更正。
里德所罗门码通常与其他编码结合在一起使用，如卷积码。这种想法的依据在于：卷积码在处理孤立的比特错误时很有效，但当接收到的比特流中有太多的错误（和突发性错误类似），卷积码就无法处理了。在卷积码中加入里德所罗门码，两者的结合就能将纠错任务完成得很好，综合起来的编码模式对单个错误和突发性错误都有良好的保障作用。

低密度奇偶校检码

低密度奇偶校检码（LDPC）是线性码，由Robert Gallagher在它的博士论文中首次提出。LDPC码中的每个输出位由一小部分的输入位形成。这样使得编码可以用一个1的密度很低的矩阵来表示，这也是编码名称的由来。接收到的码字通过一个近似算法解码获得，该算法通过迭代不断改进接收到的数据与合法码字的最佳匹配，如此纠正错误。LDPC码比较适用于大块数据，而且具有出色的纠错能力，因而性能优于其他许多编码（包括前述）。真是基于这个原因，它们迅速被新的协议所采纳，成为数字视频广播、万兆以太网、电力线网络，以及最新版802.11标准的一部分。

2.2检错码

纠错编码被广泛应用于无线链路。相比光纤，无线链路很容易嘈杂不堪而且容易出错，如果没有纠错码，将很难从该链路获得任何信息。然而，光纤或者高品质铜线的错误率要低得多，因此对于偶尔出现的错误采用差错检测和重传的处理方式通常更加有效。常用检错码：（1）奇偶（2）校检和（3）循环冗余校检（CRC）

奇偶

把单个奇偶校检位附加到数据中。奇偶位的选择原则是使得码字中比特1的数目是偶数（或奇数）。这样处理等同于对数据位进行模2加或异或操作来获得奇偶位。例如当以偶校检方式发送1011010时，在数据末尾在数据末尾加一位0，保证数据中1的个数是偶数；否则添加1。具有单个校检位的编码具有码距2，因为任何1位错误都将使得码字的奇偶校检码出错，这意味着奇偶码可以检测出1位错误。
考虑这样的信道，其上发生的错误都是孤立的。令数据块大小为1000位，根据公式(m+r+1)≦2^r可知需要10个校检位；因此1兆大小的数据块将需要10000个校检位。如果只为检测出该块数据中是否存在1位错误，每块数据仅一个校检位就足够了，每1000个数据块中有1块出现错误，只需要重传额外的一块（1000个数据位加上1个校检位）即可修复错误，每1兆数据用于错误检测和重传的总开销只有2001位，相比海明码需要的10000位显然要高效。这种校检方案的困难在于单个检验位只能可靠地检测出1位错误。如果数据块因一个长的突发错误造成严重乱码，那么这种错误检测出来的概率只有1/2（数据位异或为偶为奇各占1/2），显然这是令人难以接受的。如果发送的每个数据块作为一个n位宽和k位高的长方形矩阵来处理，则检测出错误的概率可望得到很大提高，如果我们为每一行计算和发送一个校检位，只要每一行最多只有一个错误发生，那么我们就能可靠地检测出k位错误。
为了提高对突发错误的检测能力，可以改变计算校检位的次序，即以不同于数据位发送的次序来计算校检位。这种处理方式就是所谓的交错校检。在这种情况下，我们将为n列中的每列计算校检位，按k行发送全部的数据位，发送次序是从上到下发送每一行，行内数据为通常按照从左到右的次序发送。在最后一行，发送n个校检位。这种传输如图，其中n=7，k=7。
交错校检是一种将检测（或纠正）单个错误的编码转换成能检测（或纠正）突发错误的通用性技术。在图中，放发生一个长度为n=7的突发错误，出错的位恰好分散在不同的列（突发错误并不隐含着所有的位都出错），n列中至多只有1位收到影响，因此这些列中的校检位将能检测到该错误。这种方法对于nk长度的数据块使用了n个校检位就能检测出一个长度小于等于n的突发错误。但是当一个长度为n+1或者一列中的两位都反转，那么这样的错误无法检测出来。如果数据块被一个长突发错误或多个短突发错误所扰乱，该n列中任何一列有正确校检位的概率偶尔有1/2，所以一个不该接收而被接受的坏块的概率是(1/2)ⁿ。

校检和

第二类检错码是校检和，与一组奇偶校检位相关。校检和这个词通常用来指与信息相关的一组校检位，不管这些校检位是如何计算出来的。一组奇偶校检位是校检和的一个例子。然而，还有其他种类的校检和，强大的校检和基础是对消息中的数据位进行求和计算。校检和通常放置在消息的末尾，作为求和功能的补充。这样一来，通过对整个接收到的码字（包含了数据位和校检和）进行求和计算就能检测出错误。如果计算结果是0，则没有检测出错误。
校检和的一个例子是16位的Internet校检和，作为IP协议的一部分用在所有Internet数据包中。该校验和是按16位字计算得出的消息位总和。由于此方法针对字而不是像奇偶校检那样针对位进行操作，因此奇偶校检没能检测出的错误此时仍然影响着校检和，从而能被检测出来。例如，如果两个字的最低位都从0错误变成了1，上述的奇偶校检将无法检测这个错误，但是两个1增加到16位校检和中将产生不同的结果，这个错误将被检测出来。
Internet校检和是以补码运算而非2¹⁶模加运算得到的。在补码运算中，负数是其正数的按位补。现代计算机采用双补算法，负数是该数的补码加1。在双补计算机中，一个数的补码等价于模2¹⁶加，并且任何高序位溢出将被放回低序位上。该算法为校检和提供了更均匀的数据覆盖面。否则两个高序位可能因相加、溢出而被丢失，从而对校检和没有任何作用。这种双补算法还有另一个好处，0的补码有两种表示方法：全0和全1。这就允许一个值（例如全0）表示没有校检和而不需要用额外一个字段作特别说明。
Internet校检和在某些情况下提供的保护很弱，正因为它只是一个简单的和。它检测不出0数据的增加或删除，也检测不出被替换的那部分，而且对两个数据包拼接起来的消息只有弱保护作用。这些错误在随机过程中似乎不太可能发生，但恰恰是一种发生在有缺陷硬件上的错误。一个更好的选择是Fletcher校检和。它包括一个位置组件，将数据和其位置的乘积添加到总和中。这样能对数据位置的变化提供更强大的检测作用。

循环冗余校检码

也称多项式编码。多项式编码的基本思想是：将位串看成是系数为0或1的多项式。一个k帧看做是一个k-1次多项式的系数列表，该多项式有k项，从X^k-1到X⁰。例如，110001有6位，因此代表了一个由6项的多项式，其系数分别为1、1、0、0、0和1：即1X⁵+1X⁴1X³+1X²+1X¹+1X⁰。
多项式的算术运算遵守代数域理论规则，以2为模来完成。加法没有进位，减法没有借位，等同于异或。使用多项式编码时，发送方和接收方必须预先商定一个生成多项式G(x)。生成多项式的最高位和最低位系数必须是1。假设1帧有m位，它对应于多项式M(x)，为了计算它的CRC，该帧必须比生成多项式长。基本思想是在帧尾附加一个校检和，使得附加之后帧所对应的多项式能够被G(x)除尽。当接收方收到了带校检和的帧之后，它试着用G(x)去除它。如果有余数的话，则表明传输过程中有误。
计算CRC的算法如下：（1）假设G(x)的阶为r。在帧的低位加上r个0位，使得该帧包含m+r位，对应多项式为X^rM(x)。（2）利用模2除法，用对应于G(x)的位串去除对应于X^rM(x)的位串。（3）利用模2减法，从对应于X^rM(x)的位串中减去（相等于异或）余数（总是小于等于r位）。结果就是将被传输的带校检和的帧。它的多项式不妨设为T(x)。图中显示了多项式为G(x)=X⁴+X+1计算1101011111校检和的情形。
显然T(x)可以被G(x)除尽。在任何一种除法中，如果将被除数减掉余数，则剩下的差值一定可以被除数除尽。想象一下在传输过程中发生了一个错误，因此接收方收到的不是T(x)，而是T(x)+E(x)，其中E(x)对应的每位1都变反了。如果E(x)中有k个1，则表明发生了k个错误。单个突发错误可以这样描述：初始位是1，然后是0和1的混合，最后一位也是1，所有其他位都是0。接收方在收到了带校检和的帧之后，用G(x)来除它，即[T(x)+E(x)]/G(x)。T(x)/G(x)是0，因此计算结果简化为E(x)/G(x)。如果错误恰好发生在作为因子的G(x)多项式中，那么将无法检测到，其他所有错误版本都能够被检测出来。如果只有一位发生错误，即E(x)=xⁱ，这里 i 决定了错误发生在哪一位上。如果G(x)包含两项或者更多项，则它永远也除不尽E(x)，所以，所有的一位错误都将被检测到。
如果有两个独立的一位错误，则E(x)=xⁱ+x^j，这里 i > j 。如果我们假定G(x)不能被x除尽，则所有的双位错误都能够检测出来的充分条件是：对于任何小于等于i - j 最大值（即小于等于最大帧长）的k值，G(x)都不能除尽x^k+1。简单地说，低阶的多项式可以保护长帧。例如，对于任何 k <32768，x¹⁵+x¹⁴+1都不能除尽x^k+1。如果有奇数个位发生了错误，则E(x)包含奇数项（比如x⁵+x²+1，但不能是x²+1）。有意思的是，在模2系统中，没有一个奇数项多项式包含x+1因子。因此，以x+1作为G(x)的一个因子，我们就可以捕捉到所有包含奇数个位变反的错误情形。
最后，也是最重要的，带r个校检位的多项式编码可以检测到所有长度小于等于r的突发错误。长度为k的突发错误可以用xⁱ(x^k-1+x^k-2+……+1)来表示，这里 i 决定了突发错误的位置距离帧的最右端有多远。如果G(x)包含一个x⁰的项，则它不可能有xⁱ因子，所以，如果括号内表达式的阶小于G(x)的阶，则余数永远不可能为0。如果突发错误的长度为r+1，则当且仅当突发错误与G(x)一致时（括号表达式与G(x)相同），错误多项式除以G(x)的余数才为0。根据突发错误的定义，第一位和最后一位必须为1，所以它是否与G(x)匹配取决于其他 r-1 个中间位。如果所有的组合被认为是等概率的话，则这样一个不正确的帧被当做有效帧接收的概率是1/2^r-1。同样可以证明，当一个长度大于r+1位的突发错误发生时，或者几个短突发错误发生时，一个坏帧这当做有效帧通过检测的概率为1/2^r，这里假定所有的帧模式都是等概率的。
一些特殊帧已经成为国际标准，其中一个被IEEE 802用在以太网示例中，多项式为：x³²+x²⁶+x²³+x²²+x¹⁶+x¹²+x¹¹+x¹⁰+x⁸+x⁷+x⁵+x⁴+x²+x¹+1
除了其他优良特性外，该多项式还能检测到长度小于等于32的所有突发错误，以及影响到奇数位的全部突发错误，20世纪80年代后它得到了广泛应用。Castagnoli (1993) 和 Koopman (2002)采用穷尽计算搜索，发现了最好的CRC。这些CRC针对典型消息长度获得的海明距离为6，而IEEE标准的CRC-32的海明距离只有4。虽然计算CRC所需的运算看似复杂，但硬件上通过简单的移位寄存器电路很容易计算和验证CRC，实际上，这样的硬件几乎一直被使用着。数十种网络标准采用了不同的CRC，包括几乎所有的局域网（如以太网，802.11）和点到点链路（SONET上的数据包）。