第一道单调队列优化DP，写篇题解纪念一下
题面很简单,我用\(n,m,buy,sell,blimit,slimit\)来分别代表\(T,MaxP,AP,BP,AS,BS\)
1.暴力
应该挺好打的,转移如下
\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j])\)
\(f[i][j]=MAX_{k=0}^{j}(f[i-w-1][k]-buy[i]\times(j-k)),((j-k)<blimit[i])\)
\(f[i][j]=MAX_{k=j}^{j+sli}(f[i-w-1][k]+sell[i]\times(k-j)),((k-j)<slimit[i])\)
\((MAX\)表示区间最大\()\)
这样做是\(O(n^2)\)的,TLE
2.单调队列优化DP
考虑优化,
每次转移如下(以买入为例):
\(f[i][j]=f[i-w-1][k]-buy[i]\times(j-k)),((j-k)<blimit[i])\)
\(RHS(右式)=f[i-w-1][k]-buy[i]*j+buy[i]*k,((j-k)<blimit[i])\)
那么我们到底有没有必要枚举\(k\) 呢?
在枚举\(k\) 的过程中,\(-buy[i]*j\) 是定值,我们把它放到一边
令数组\(a[k]=f[i-w-1][k]+buy[i]*k\)
那么\(a\) 是一个与\(i,j\) 无关的数组,
且\(f[i-w-1][j]\)的答案只会从\(a\) 数组中产生
则转移的本质其实是从同层且满足限制条件(条件即为blimit)的答案中选取最大的进行转移
如上图每次只会增加一个元素,减去一个元素
然后就滑动窗口了
3.代码
暴力(50pts):
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define R register int
#define ll long long
#define gc getchar
using namespace std;
il int rd()
{
R x=0,flag=1;
char ch=0;
while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=gc();
if(ch=='-')flag=-1,ch=gc();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=gc();
return x*flag;
}
const int N=2010;
int n,m,w,ans;
int f[2002][2002];
int buy[N],sell[N],slimit[N],blimit[N];
int main ()
{
n=rd(),m=rd(),w=rd();
for(R i=1;i<=n;i++)
buy[i]=rd(),sell[i]=rd(),blimit[i]=rd(),slimit[i]=rd();
memset(f,0xcf,sizeof(f));
for(R i=1;i<=n;i++)
for(R j=0;j<=blimit[i];j++)
f[i][j]=-buy[i]*j;
for(R i=1;i<=n;i++)
{
for(R j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
for(R k=0;k<=slimit[i];k++)
{
if(i>w)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][j+k]+sell[i]*k);
}
for(R k=0;k<=blimit[i];k++)
{
if(i>w&&j>=k)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][j-k]-buy[i]*k);
}
}
}
for(R i=0;i<=m;i++)
ans=max(ans,f[n][i]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
正解(100pts,跑得巨慢):
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define R register int
#define ll long long
#define gc getchar
using namespace std;
il int rd()
{
R x=0,flag=1;
char ch=0;
while((ch>'9'||ch<'0')&&ch!='-')ch=gc();
if(ch=='-')flag=-1,ch=gc();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=gc();
return x*flag;
}
const int N=2010;
int n,m,w,ans;
int f[2002][2002];
int buy[N],sell[N],slimit[N],blimit[N];
deque<int> dq,dq2;
int main ()
{
n=rd(),m=rd(),w=rd();
for(R i=1;i<=n;i++)
buy[i]=rd(),sell[i]=rd(),blimit[i]=rd(),slimit[i]=rd();
memset(f,0xcf,sizeof(f));f[0][0]=0;
for(R i=1;i<=n;i++)
{
while (!dq.empty()) dq.pop_back();
while (!dq2.empty()) dq2.pop_back();
R t=max(0,i-w-1);
for(R j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
while(dq.size()&&f[t][j]>=f[t][dq.back()]-buy[i]*(j-dq.back()))
dq.pop_back();
dq.push_back(j);
while(dq.size()&&j-dq.front()>blimit[i])dq.pop_front();
f[i][j]=max(f[i][j],f[t][dq.front()]-buy[i]*(j-dq.front()));
}
for(R j=m;j+1;j--)
{
while(dq2.size()&&f[t][j]>=f[t][dq2.back()]+sell[i]*(dq2.back()-j))
dq2.pop_back();
dq2.push_back(j);
while(dq2.size()&&dq2.front()-j>slimit[i])dq2.pop_front();
f[i][j]=max(f[i][j],f[t][dq2.front()]+sell[i]*(dq2.front()-j));
}
}
for(R i=0;i<=m;i++)
ans=max(ans,f[n][i]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}