Avito Cool Challenge 2018：C. Colorful Bricks

C. Colorful Bricks

题目链接：https://codeforces.com/contest/1081/problem/C

题意：

有n个横向方块，一共有m种颜色，然后有k个方块的颜色与其左边的颜色不同（第一个除外），问一共有多少染色方案。

题解：

我们首先来考虑一下dp。

设dp(i,j)为当前第i个方块，一共有j个方块与它前面的方块不同的方案个数。

那么转移方程为dp(i,j)=dp(i-1,j-1)*(m-1)+dp(i-1,j)。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 998244353,N = 2005;
ll n,m,k;
ll dp[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    dp[1][0]=m;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j!=0) dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-1]*(m-1))%MOD;
        }
    }
    cout<<dp[n][k];
    return 0;
}

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还有一种数学的计数方法。

我们假设已经选定了k种颜色，除开第一个，那么我们就可以直接把2-n的位置进行缩点，缩成有前一个的颜色不等于后一个颜色的点（因为有一些点的颜色是和之前的点颜色相等的，这种对答案没有贡献，取决于之前的那个颜色）。

然后第一个位置有m种情况，之后的每个位置都有m-1种情况。

所以最后答案为C(n-1,k)*m*(m-1)^k。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 998244353 ,N = 2005;
ll n,m,k;
ll C[N][N];
ll qp(ll a,ll b){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b&1) ans=(a*ans)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans ;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    C[0][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) C[i][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
    ll ans = (C[n-1][k]*m)%MOD;

    cout<<ans*qp(m-1,k)%MOD<<endl;
    return 0;
}

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