1.【必读】首先我们给出一个看似无关却非常重要的概念：属性集的闭包。
属性集的闭包F﹢对于一个关系模式，如何由已知的函数依赖集合F，找出F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合呢？这就是我们下面要讨论的问题。
F的闭包F+：设F为一个函数依赖集，F的闭包是指F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合。 F的闭包记作F+。
例如，给定关系模式R(A,B,C,G,H,I)，函数依赖集合F={A→B，A→C，CG→H，CG→I，B→H}。可以证明函数依赖A→H被F逻辑蕴涵。
设有元组s和t，满足s[A]=t[A]，根据函数依赖的定义，由已知的A→B，可以推出s[B]=t[B]。又根据函数依赖B→H，可以有
s[H]=t[H]。因此，已经证明对任意的两个元组s和t，只要有s[A]=t[A]，就有s[H]=t[H]。所以，函数依赖A→H被F逻辑蕴涵。
计算F的闭包F+，可以由函数依赖的定义直接计算，如上面的示例。
当F很大时，计算的过程会很长。为了从已知的函数依赖推导出其它函数依赖，Armstrong 提出了一套推理规则，称为Armstrong 公理 ，通过反复使用这些规则，可以找出给定F的闭包F+。
2.我们再坠述一下Armstrong公理，会的小伙伴可以跳过
Armstrong 公理
设U为属性总体集合，F为U上的一组函数依赖集，对于关系模式R（U，F），X、Y、Z为属性U的子集，有下列推理规则：
在此先说一下 Armstrong 的基本公理和推理规则：
基本公理：
1）（自反律）如果 Y ∈ X∈ U，则 X → Y 成立。（平凡函数依赖）
2）（增广律）如果 X → Y 在 R(U) 成立，且 Z∈ U，则 XZ → YZ成立
3）（传递律）如果 X → Y，Y → Z 成立，则 X → Z 成立。
推理规则：
1）（合并）：{X → Y，X → Z}，则 X → YZ
2）（分解）：{X → Y，Z ∈ Y}，则 X → Z。（或：X → YZ，那么 X → Y，X → Z）
3）（伪传递）：{X → Y,YW → Z}，则 WX → Z
4）（复合）：{X → Y，W → Z},则 XW → YZ
5）（自积律）：{X → YZ，Z → W}，则 X → YZW
3.当然还有另一种方法算F的闭包F+(参照某牛人的博客)：
令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。
下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。 算法一：
result:=α;
while(result发生变化)do
begin
for each 函数依赖β→γ in F do
begin
if β∈result then result:=result∪γ;
end
end
4.【必读】有了前面的铺垫，我们来解决我们的问题:
无损分解的判断
如果分解成两个R1,R2，则 如果R1∩R2是R1或R2的超码，则R上的分解（R1，R2）是无损分解。这是一个充分条件，当所有的约束都是函数依赖时它才是必要条件（例如多值依赖就是一种非函数依赖的约束），不过这已经足够了。
如果分解是两个以上，R1,R2,R3…使用表格还原法检验。表格法判断无损分解
保持依赖的判断。
如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立，则这个分解是保持依赖的（这是一个充分条件）。
如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。 该方法的表述如下： 算法二：
对F上的每一个α→β使用下面的过程：
result:=α;
while(result发生变化)do
begin
for each 分解后的Ri
begin
t=(result∩Ri)+ ∩Ri
result=result∪t
end
end
这里的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。
下面给出一个例题，2007年5月数工40-41题。
●给定关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候选关键字为 （40），则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （41） 。
（40）A．ABD
B．ABE
C．ACD
D．CD
（41） A．具有无损连接性、保持函数依赖
B．不具有无损连接性、保持函数依赖
C．具有无损连接性、不保持函数依赖
D．不具有无损连接性、不保持函数依赖
对于第一问，我们画如下的有向图，由CD可以遍历整个图可以快速得到答案选D。
再看第二问。
先做无损链接的判断。
我们利用表格法可以得到该分解是是无损的。具体做法就不做坠述了，笔者也看到了一片对无损判断的讲解博客：表格法判断无损分解，但是这位作者对于保持依赖的判断有所误解。
最后可以得到，该分解不具有无损分解性。
下面我们再来做一下保持依赖的判断。
B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。
由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要判断的是D→A是不是也被保持。
对于D→A应用上面的算法二：
result=D
（1）对R1，result∩R1=ф（空集，找不到空集的符号，就用这个表示吧），t=ф，result=D
（2）再对R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D，result=D
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。
所以此题 选D
下面我们再来看一个保持函数依赖的情况，比较复杂点的例题。
首先我们利用画图法和表格法求得了模式R的候选关键字和D是无损分解的。
那么，我们继续来看第二题选D为什么是保持依赖的。
（1）A->B在R1上成立（因为它们的元素都在R1中），DE->B，CB->E，E->A，B->D都是不能直接判断出来的，因此我们用算法二检验一下：
（2）对于DE->B,result=DE：
①对于R1，(result∩R1)+=ф，t=(result∩R1)+ ∩R1=ф，result=result∪t=DE；
②再对于R2，(result∩R2)+=(DE)+=ABDE，t=(result∩R2)+ ∩R2=DE，result=result∪t=DE；
③再对于R3，(result∩R3)+=(E)+=ABDE，t=(result∩R3)+ ∩R3=AE，result=result∪t=ADE；
④此时一次循环结束，result发生了变化，继续下一次循环；
⑤再对于R1，(result∩R1)+=(A)+=ABD，t=(result∩R1)+ ∩R1=AB，result=result∪t=AB；
此时已经可以看出result=AB，已经包含了B，不需要再继续处理，所以DE→B被保持。
同理可验证D是正确的。