本章理论性较强，晦涩难懂部分本人已做简单叙述，如有理解不到位之处，还请指出，谢谢

一.数据库规范性设计

为了避免数据库一致性问题，因此需要进行数据库规范性设计。需要满足三大理论：

数据依赖理论
关系范式理论
模式分解理论

二.函数依赖

函数依赖

定义：设 $R(U)$ 是属性集合 $U=\{A_1,A_2,...,A_n\}$ 上的一个关系模式， $X,Y$ 是 $U$ 上两个子集，若 $R(U)$ 的任意一个可能的关系 $r$ ， $r$ 中不可能有两个元组满足在 $X$ 中属性值相等而在 $Y$ 中属性值不等，则称函数 $X$ 决定 $Y$ ，或函数 $Y$ 依赖于X，记作 $X\rightarrow Y$

再举两个抽象的例子：

函数依赖的特性：

对 $X\rightarrow Y$ ，但 $Y \nsubseteq X$ ，则称 $X\rightarrow Y$ 为非平凡的函数依赖
对 $X\rightarrow Y$ ，任意两个元组，若 $X$ 上值相等，则 $Y$ 上值必然相等，称X为决定因素

完全函数依赖与部分函数依赖

在 $R(U)$ 中，若 $X\rightarrow Y$ 并且对 $X$ 的任何真子集 ${{X}}'$ 都有 ${X}' \nrightarrow Y$ ，则称 $Y$ 对 $X$ 完全函数依赖，记作 $X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y$
否则称 $Y$ 对 $X$ 部分函数依赖，记作 $X\stackrel{p}{\longrightarrow}Y$

举例：

传递函数依赖

定义：在 $R(U)$ 中，若 $X\rightarrow Y$ ， $Y\rightarrow Z$ 且 $Y \nsubseteq X$ ， $Z \nsubseteq Y$ ， $Z \nsubseteq X$ , $Y$ 不能决定 $X$ ，则称 $Z$ 传递函数依赖于 $X$ 。

候选键

定义：设 $K$ 为 $R(U)$ 的属性或属性组合，若 $K\stackrel{f}{\longrightarrow}Y$ ，则称 $K$ 为 $R(U)$ 上的候选键

说明：

可任选一候选键作为R的主键
包含再任一候选键帐的属性称主属性，其他属性称非主属性
若K是R的一个候选键，K $\subset$ S，则称S为R一个超键

外键

定义：若 $R(U)$ 中的属性或属性组合 $X$ 并非 $R$ 的候选键，但 $X$ 却是另一关系的候选键，则称X为R的外来键，简称外键。

逻辑蕴含

定义：设 $F$ 是关系模式 $R(U)$ 中的一个函数依赖集合， $X,Y$ 是R的属性子集，如果从 $F$ 中的函数依赖能够推导出 $X\rightarrow Y$ ，则称 $X\rightarrow Y$ 是 $F$ 的逻辑蕴含，记作 $F\models X\rightarrow Y$

这里简单说明下这个定义，关系模式 $R(U)$ 可以抽象成一个表， $U$ 表示该表中所有属性集合， $F$ 是一个函数依赖集合(比如集合内定义了完全函数依赖，传递函数依赖等)， $X,Y$ 是表中的某两个属性或属性组，根据 $F$ 集合中定义的关系可以推导出 $X\rightarrow Y$ ，则称 $X\rightarrow Y$ 是 $F$ 的逻辑蕴含。比如说如果A，那么B（参照离散数学）

闭包

被 $F$ 逻辑蕴含的所有函数依赖集合称为 $F$ 的闭包，记作 $F^+$

若 $F^+=F$ ，则说 $F$ 是一个函数依赖完备集

三.函数依赖的公理和定理

Armstrong公理：

设 $R(U)$ 是属性集 $U=\{A_1,A_2,...,A_n\}$ 上的一个关系模式， $F$ 为 $R(U)$ 的一组函数依赖，记为 $R(U,F)$ ，则有：

自反律：若 $Y\subseteq X\subseteq U$ ，则 $X\rightarrow Y$ 被 $F$ 逻辑蕴含（表明了一个属性组可以决定它自身的每一个属性）
增广律：若 $X\rightarrow Y\in F$ ，且 $Z\subseteq U$ ，则 $XZ\rightarrow YZ$ 被 $F$ 逻辑蕴含（表明了一个函数依赖，两边再加上属性，函数依赖依旧成立）
传递律：若 $X\rightarrow Y\in F$ ，且 $Y\rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow Z$ 被 $F$ 逻辑蕴含

公理的证明：

由Armstrong公理推导出的定理：

合并律：若 $X\rightarrow Y$ 且 $X\rightarrow Z$ ，则 $X\rightarrow YZ$
伪传递律：若 $X\rightarrow Y$ 且 $WY\rightarrow Z$ ，则 $XW\rightarrow Z$
分解律：若 $X\rightarrow Y$ 且 $Z\subseteq Y$ ，则 $X\rightarrow Z$

定理的证明：

引理：如果 $A_1,A_2,...,A_n$ 是属性，则 $X\rightarrow A_1,A_2,...,A_n$ 当且仅当对每个 $A_i$ 有 $X\rightarrow A_i(1\leq i\leqslant n)$

属性集闭包：

定义：对 $R(U,F)$ ， $X\subseteq U$ ， $U=\{A_1,A_2,...,A_n\}$ ，令 $X_F^+=\{A_i|$ 用Armstrong三个公理可从 $F$ 导出 $X\rightarrow A_i \}$ ，称 $X_F^+$ 为 $X$ 关于 $F$ 的属性闭包

简单地说明一下这个定义的含义：对于一个关系 $R$ ，可以抽象成一个表， $U$ 表示这个表中所有的属性， $F$ 是定义在表上的函数蕴含集合， $X$ 是表中部分属性组构成的，则 $X$ 的属性集闭包就表示，由Armstrong公理在函数蕴含集合 $F$ 上的运用可以推出 $X$ 决定了 $R$ 的某些属性，这些属性的集合就是 $X_F^+$ 。即属性闭包是指所有由X属性（集）决定的属性的集合

由此定义推出重要定理： $X\rightarrow Y$ 可从 $F$ 由Armstrong Axiom导出，当且仅当 $Y\subseteq X_F^+$

定理：有了属性集闭包则可以证明Armstrong Axiom公理是有效的(由 $F$ 出发根据Armstrong公理推导出的每一个函数依赖一定在 $F^+$ )和完备性(被 $F$ 逻辑蕴含的所有函数依赖都能由公理在 $F$ 的基础上推出)

覆盖

定义：对 $R(U)$ 上的两个函数依赖集合 $F$ 和 $G$ ，如果 $F^+=G^+$ ，则称 $F$ 覆盖 $G$ ，或 $G$ 覆盖 $F$

引理： $F^+=G^+\Leftrightarrow F\subseteq G^+ \wedge G\subseteq F^+$

属性闭包计算算法：

以示例简单说明下算法如何进行：

首先，由算法1， $X^{(0)}=\{A,B\}$ 。由算法2中， $V\subseteq X^{(i)}$ 与 $V\rightarrow W \in F$ ，这时候我们扫描 $F$ 集合中的依赖关系，其中左边部分要为 $A,B,AB$ ，所以选择 $AB\rightarrow C$ ， $B\rightarrow D$ ，因此 $W=\{ C,D\}$ ,即 $B=\{ C,D\}$ ，由算法3,所以 $X^{(1)}=\{A,B,C,D\}$ ，但此时根据算法4不满足条件，再返回到算法2步骤，此时扫描 $F$ 集合中左边部分是 $A,B,C,D$ 任意组合的子集，找到 $C\rightarrow E$ 与 $AC\rightarrow B$ ,得出 $B=\{ C,D\}$ ，所以 $X^{(2)}=\{A,B,C,D,E\}$ ，不满足条件5（其实这时 $X^{(2)}$ 已经属于全部集合了，所以可以终止），再根据算法2，找到左边部分是 $A,B,C,D,E$ 的组合，现在只剩下 $EC\rightarrow B$ 了，所以无法找到 $W$ 或者说 $W\in \o$ ，因此 $X^{(3)}=\{A,B,C,D,E\}$ ，循环中止，此时得到了结果 $(AB)_F^+=\{A,B,C,D,E\}$

此算法的证明不再详述。

由上述的算法得到引理：

每个函数依赖集 $F$ 可以被一个其右端至多由一个属性的函数依赖集 $G$ 覆盖。

这个引理的意思表示，假如 $X\rightarrow Y$ ，这里 $X,Y$ 都有一个属性或多个属性构成，把 $Y$ 拆成一个一个属性，那么函数依赖集 $G$ 就包含了 $X$ 决定了那些一个一个属性的集合。

最小覆盖

若 $F$ 满足一下条件，则称 $F$ 为最小覆盖：

$F$ 中的每个函数依赖的右部是单个属性
对任何 $X\rightarrow A\in F$ ，就有 $F-\{X\rightarrow A\}$ 不等价于 $F$ （这就表示了 $X\rightarrow A$ 不可以去掉，不确切的类比可以认为这个集合不能去掉）
对任何 $X\rightarrow A\in F$ ， $Z\subset X$ , $(F-\{X\rightarrow A\})\cup \{Z\rightarrow A\}$ （这里比上面多了一个 $\{Z\rightarrow A\}$ ，这其实就表明在原有集合不能去掉的基础之上，又加上了一个限制，就是集合 $X$ 中没有多余的元素）