[jzoj5972]wang（最小权匹配=最小费用最大流、贪心、结论题）

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5972. 【北大2019冬令营模拟12.1】 wang(2s,256MB)

Problem

• 给定一个定义域和值域都在 $Z$上的函数 $F(x)$，且给定一个常数 $C$，且满足 $F(2F(x) - x + 1) = F(x) + C$

• 现在给定你 $n$个二元组 $(x_i,y_i)$，要求最小化 $\sum_{i=1}^n|F(x_i)-y_i|$

Data constraint

• $C\le 60$

• $n\le 10000$

Solution

• 性质①

  $F(x+2C)=F(x)+2C$

• 证明①

• 令 $y=2F(x)-x+1$

• 则
  $F(y)=F(x)+C$ $\Downarrow$ $F(y)+C=F(x)+2C$ $\Downarrow$ $F(2F(y)-y+1)=F(x)+2C$ $2F(y)-y+1=2F(y)-2F(x)+x=x+2C$ $\Downarrow$ $F(x+2C)=F(x)+2C$

• 性质②：

  • 若 $a+b=2t+1,F(a)=t$

  • 则 $F(a)+F(b)=2t+C$

证明②

• 令 $a=2a',b=2b'+1,t=a'+b'$
• 则 $F(2F(a)-a+1)=F(a)+C$ $\Downarrow$ $F(2(t+nC)-a+1)=t+nC+C$ $\Downarrow$ $F(2t-a+1+2nC)=t+nC+C$ $\Downarrow$ $F(2t-a+1)+2nC=t+nC+C$ $\Downarrow$ $F(b)=t-(n-1)C$

• 然后根据这两个性质，把所有的 $X_i$按照 $2C$取模之后可以分成 $2C$组，每一组当中只要一个对应的值确立，整个组的值便可以确立.

• 所以我们只需考虑组与组之间的对应关系。

• 并且根据题意，当 $F(a)$等于某个值 $t$时，只有 $F(2t-a+1)$与 $F(a)$有关系，所以，很明显只有奇偶性不同的组互相影响.

• 根据性质②，我们得知当 $F(a)=t+nC$时，对应的 $F(2t-a+1)=t-(n-1)C$，换言之，对于所有的 $X_i$，若其属于某组 $a$（即 $X_i\equiv a(mod\ 2C)$），那么可以考虑与其奇偶性不同的所有组 $b$，组 $a$与不同的组 $b$进行影响会产生不同的代价，而我们需要做的，是让所有的奇数组与偶数组进行完美配对.

• 要明白这一点，首先要知道什么叫完美配对.

• 给定一个二分图，如果可以分成两个相等集合 $S,T$，并且 $S$中每个点与且仅与 $T$中一个点进行匹配，那么这个二分图就可以完美配对.

• 对于此题而言，因为每个 $F(a)$ 影响且仅能影响一个对应的 $F(b)$，并且影响了 $F(b)$之后，既不能影响另一个 $F(c)$，又不能被另一个 $F(c)$影响，所以这显然是一个二分图，显然是可以进行完美配对的。

• 为了更好地计算出两组 $a,b$相互影响的代价，观察到实际上 $F(a)$只能变成 $t+nC$的形式，而 $F(b)$也是类似于这个形式，所以我们要计算 $\sum_{i=1}^n|F(X_i)-Y_i|$的代价，就可以想办法把式子转化成类似于 $\sum_{i=1}^n|W_i+n*C|$的形式，事实证明，这很容易做到.

• 考虑两组 $a,b$，不妨假设 $a=2a',b=2b'+1$，那么如果一个 $X_i$在对应的 $a$组，我们就令 $W_i=F(X_i)-Y_i=F(a)+X_i-a-Y_i=a'+b'+X_i-a-Y_i$，

• 即 $W_i=a'+b'+X_i-a-Y_i$.

• 反之，如果 $X_i$在 $b$组，我们就令 $W_i=F(X_i)-Y_i=F(b)+X_i-b-Y_i=a'+b'+C+X_i-b-Y_i$，因为 $W_i$在式子里是套上了绝对值的，所以我们可以把它变成 $W_i=Y_i+b-a'-b'-X_i-C$，

• 即 $W_i=Y_i+b-a'-b'-X_i-C$

• 这样一来，所有的 $|F(X_i)-Y_i|$都可以变化成 $\sum_{i=1}^n|W_i+n*C|$.

• 我们取中位数，并适当调整，可以很容易确定一个最优的 $n$.

• 这样子便可以计算出两组 $a,b$进行配对的最优代价，接下来就是如何最小权匹配了.

• 对于这个算法，我们可以直接转化最小费用最大流.

• 最小费用最大流需要注意它是在保证最大流的前提下最小费用的，所以我们可以按照正常思维，从原点向左边一排点连容量为 $1$，费用为 $0$的边，汇点同样向右边一排点这样连边，之后，对于中间的连边，流量为 $1$，费用就是匹配代价，之后用 $ZKW$算法跑一遍就可以得到答案了.

• 因为本人太菜，所以这里大致讲一讲费用流的实现.

• 求解费用流一般有两种算法：第一种就是刚刚提到的大名鼎鼎的 $ZKW$算法，也是实战中经常用到的算法，另外一种就是经典的 $spfa$增广算法.

SPFA增广

• 一句话，每次找一条费用最小的流进行增广，直到不能增广为止.

#define I register int

void link(I x, I y, I z, I l) {
	tov[++ tot] = y, len[tot] = z, nex[tot] = las[x], cost[tot] =  l, las[x] = tot;
	tov[++ tot] = x, len[tot] = 0, nex[tot] = las[y], cost[tot] = -l, las[y] = tot;
}

bool spfa() {
	queue<int> q;
	mem(d, 0xcf), mem(v, 0), q.push(S), d[S] = 0, v[S] = 1, incf[S] = 1 << 30;
	while (q.size()) {
		I x = q.front(); v[x] = 0; q.pop();
		for (I i = las[x], y = tov[i]; i; i = nex[i], y = tov[i])
			if (len[i] && d[y] < d[x] + cost[i]) {
				d[y] = d[x] + cost[i], incf[y] = min(incf[x], len[i]), pre[y] = i;
				if (!v[y]) v[y] = 1, q.push(y);
			}
	}
	return d[T] > 0;
}

void update() {
	for (I x = T; x ^ S;)
		len[pre[x]] -= incf[T], len[pre[x] ^ 1] += incf[T], x = tov[pre[x] ^ 1];
	maxflow += incf[T], ans += d[T] * incf[T];
}

while (spfa()) update();

ZKW算法

#define ll long long

void link(ll x, ll y, ll l, ll L) {
	tv[++ tt] = y, c[tt] = L, nx[tt] = ls[x], ls[x] = tt, len[tt] =  l;
	tv[++ tt] = x, c[tt] = 0, nx[tt] = ls[y], ls[y] = tt, len[tt] = -l;
} //c[x]表示x这条边的流量，len[x]表示x这条边的费用


bool bfs() { //这里与spfa增广几乎是一模一样的，核心都是找出从原点到所有点的最小费用.
	mem(vis, 0), mem(dis, 0x7f), dis[S] = 0, vis[S] = 1;
	queue <ll> Q; Q.push(S);
	
	while (!Q.empty()) {
		ll k = Q.front(); Q.pop();
		for (ll x = ls[k]; x ; x = nx[x])
			if (c[x] && dis[tv[x]] > dis[k] + len[x]) {
				dis[tv[x]] = dis[k] + len[x]; //更新最小费用
				if (!vis[tv[x]])
					vis[tv[x]] = 1, Q.push(tv[x]);
			}
		vis[k] = 0;
	}

	return dis[T] < 9187201950435737471;
}

ll dfs(ll k, ll flow) {
	if (k == T) { vis[T] = 1; return flow; }
	ll have = 0; vis[k] = 1;
	//这里一定要注意这个vis标记的作用，因为dis[i]表示的是最小费用，而并非普通dinic的距离标号
	//所以这是可能存在零环的，因此一定要用个标记来去掉零环带来的影响.
	for (ll x = ls[k]; x ; x = nx[x])
		if (!vis[tv[x]] && c[x] && dis[tv[x]] == dis[k] + len[x]) {
			ll now = dfs(tv[x], min(flow - have, c[x]));
			ans += now * len[x], c[x] -= now, c[x ^ 1] += now, have += now;
			if (flow == have) return have;
		}
	return have;
}

int main() {
	while (bfs())
		for (vis[T] = 1; vis[T]; )
			mem(vis, 0), dfs(S, inf);
}

• 实际上 $ZKW$的算法就是借鉴了普通的最大流 $dinic$算法以及原始 $spfa$算法。

• 在求出了 $dis[i]$，即最小花费之后每次多路增广，而不仅仅只是增广一条最优的路径（这是 $spfa$增广），这样可以少进行很多次 $spfa$，提高效率.

• 所以综上，也不难发现，在稠密图上 $ZKW$一般是占据优势的，但在极稀疏的图上， $spfa$增广一般更优.