随机过程之基本概念（二）

本文主要介绍随机过程的一些基本特征描述，例如均值，方差等局部特征，还有n阶概率密度、自相关函数和互相关函数等，这些特征能给出不同随机过程所具有的不同信息的定量描述。

1.随机过程的的数学期望

对于任意时刻t1，随机过程X(t)是一个随机变量X(t1)，随机变量X(t1)的数学期望就是随机过程X(t)在t1时刻的数学期望。对于不同的t, 所以，随机过程的数学期望是一个确定关于时间t的函数，记为E(X(t))或 $m_{X}(t)$ ,即

$m_{X}(t)=\int_{-\infty }^{\infty}xf_{X}(x,t)dx$

随机过程的数学期望特性：

(1)确定性时间函数 $\phi (t)$ 的数学期望等于它本身，即

$E(\phi (t))=\phi (t)$

(2)两个随机过程之和的数学期望等于它们数学期望之和，即

$E(X(t)+Y(t))=m_{X}(t)+m_{Y}(t)$

上述结论可推广到n各随机过程的情况。

(3)随机过程X(t)与确定性函数 $\phi (t)$ 之积的数学期望如下：

$E(\phi (t)X(t))=\phi (t)m_{X}(t)$

2.随机过程的方差

类似数学期望，随机过程的方差也是时间的函数，记为 $D_{X}(t)$ ,即

$m_{X}(t)=\int_{-\infty }^{\infty}[x-m_{X}(t)]f_{X}(x,t)dx$

随机过程的方差特性：

(1)确定性时间函数 $\phi (t)$ 的方差等于0，即

$D[\phi (t)]=0$

(2)随机过程X(t)与确定性函数 $\phi (t)$ 之和的方差等于随机过程自身的方差，即

D[X(t)+ $\phi (t)$ ]= $D_{X}(t)$

(3)随机过程X(t)与确定性函数 $\phi (t)$ 之积的方差等于确定性函数的平方乘以该随机过程的方差，即

$D[\phi (t)X(t)]=\phi ^{2}(t)D_{X}(t)$

上述情况也可以推广到n个随机过程的情况。

3.随机过程的n阶概率密度

随机过程的在时间区间的任一时刻都表现为一个随机变量，因此，可以通过多维随机变量的分布律来描述随机过程的分布律。随机过程的n维联合概率分布函数定义为

$F_{X}(x_{1},x_{2},,,x_){n};t_{1},t_{2},,,t_{n})=P(X(t_{1})\leqslant x_{1},X(t_{2})\leqslant x_{2},,,X(t_{n})\leqslant x_{n})$

若 $F_{X}(x_{1},x_{2},,,x_){n};t_{1},t_{2},,,t_{n})$ 对x1,x2,,,xn的偏导都存在，则称

$f_{X}(x_{1},x_{2},,,x_{n};t_{1},t_{2},,,t_{n})=\frac{\partial ^{n}F_{X}(x_{1},x_{2},,,x_{n};t_{1},t_{2},,,t_{n})}{\partial x_{1}\partial x_{2}...\partial x_{n}}$

为X(t)的n阶概率密度函数。

该概率密度函数描述了一个随机过程不同时刻各种取值组合发生概率的大小。

4随机过程的相关函数

(1)自相关

对于两个不同的随机过程X(t)和Y(t)的数学期望和方差随时间的变化相同, 但不等于这个随机过程的统计属性也相同，如下图：

这里，两个随机过程的方差和数学期望都相同，但各自在不同时刻中变量值的相关矩不同，数学期望和方差即反映不了相关性，所以提出自相关函数：

$R_{XX}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}x_{2}f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})dt_{1}dt_{2}$

学习的时候，我一直在想，为什么用这个函数关系来描述相关性大小呢，我们其实可以这么感性地理解(内在应该有严格的数学推理证明)，相关性可以简单地理解为相似性，这个相关函数其实是两个不同时刻各种取值乘积组合的加和(x1x2是各种可能性的乘积，f是这种组合出现的概率),当x1和x2越接近，这个乘积加和的值越大，即两者越相似，这个值越大。可能没有说服力，我们不妨举个简单的例子：假如x1的取值为{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，x2的取值也为{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

举例三中情况，当两列数完全相同时，积和最大，相差最大时，积和最小，介于中间时，积和也介于中间。

(1)互相关

互相关函数是把自相关函数中的不同时刻换位不同序列，即

$R_{XY}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})Y(t_{2})]=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }xyf_{X}(x;t_{1})f_{Y}(y;t_{2})$

表示两个不同随机过程在不同时间截面上取值的关联性。

完毕。

随机过程之基本概念（二）

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