虚树学习笔记（洛谷2495 消耗战）

题目链接

因为辣鸡csdn，导致之前快写好的博客没了
QWQ悲伤逆流成河qwqqq
首先虚树，这个东西，我感觉是一种思想，或者是方法，而并不是一个数据结构什么的。
他主要是用来解决：给出一棵树，每次询问选择一些关键点，求一些信息。
这些信息的特点是，许多未选择的点可以通过某种方式剔除而不影响最终结果。
于是就有了建虚树这个算法。我们根据原树的信息重新建树，这棵树中要尽量少地包含非关键节点。这棵树就叫做虚树。这棵虚树包含任意两个关键节点的LCA。
通常这类题 $O(nm)$ 会 $T$ 飞，而 $O(\sum 询问点个数）$ 是能跑得过的QWQ

那我们应该怎么构造虚树呢QWQ我们把所有关键点按照dfs序排好序。
然后，虚树要有一个根。这里一般直接把1号节点设为根。构建虚树的主要过程就是使用一个栈，维护从根开始的一条链。这条链上的所有点的dfs序一定是递增的。
我们把关键点扫描一遍，一边维护这个栈一边连边构建虚树。

具体来说：

1.把根节点放入栈中2.把所有关键点点扫一遍。设当前的节点为 $x$ ，栈顶(链末端)的节点为 $y$ 。求出 $x$ 和 $y$ 的 $lca$ 。

此时有2种情况。

1) $lca$ 为 $y$ 。此时 $x$ 在 $y$ 子树内。我们就把 $x$ 压入栈，相当于直接把 $x$ 添加到这条链的末尾。

2) $x，y$ 分立在 $lca$ 的两个子树中。此时y这个子树中的所有关键点一定都被遍历过了。(原因：设有一关键点a在y子树中，没有被遍历过。则 $dfn[y]<dfn[a]<dfn[x]$ 。但是我们是把关键点按照dfs序来排的，a一定在x之前被扫)

因此y子树内的所有关键点都已经被被加入虚树。接下来我们要把 $y->lca$ 这一段的点加入虚树。我们设栈顶的节点为 $y$ ，栈顶的第二个节点为 $z$ 。

重复以下操作:

1.若 $dfn[z]>dfn[lca]$ 直接连边 $z->y$ ，然后把 $y$ 出栈。

2.若 $dfn[z]=dfn[lca]$ 这意味着 $z$ 就是 $lca$ 。直接连边 $lca->y$ 。此时子树已构建完毕。

3.若 $dfn[z]>dfn[lca]$ ，说明 $lca$ 被 $y$ 和 $z$ 夹在中间。此时我们必须要把 $lca$ 加入虚树，所以连边 $lca->y$ ，然后把 $y$ 弹出栈，把lca入栈。然后子树构造完毕。

最后把栈里面的元素搞一搞，每次 $addedge(s[top-1],s[top])$ 即可感觉配合代码会比较好理解

void solve()
{
// memset(point,0,sizeof(point));
    cnt=0;
    sort(a+1,a+1+k,cmp);
    top=1;
    sta[top]=1;
    for (int i=1;i<=k;i++)
    {
        int l = lca(sta[top],a[i]);
        if (l!=sta[top])
        {
            while (top>1)
            {
                if (dfn[sta[top-1]]>dfn[l])
                {
                    addedge(sta[top-1],sta[top],0);
                    top--;
                }
                else
                {
                    if (dfn[sta[top-1]]==dfn[l])
                    {
                        addedge(sta[top-1],sta[top],0);
                        top--;
                        break;
                    }
                    else
                    {
                      addedge(l,sta[top],0);
                      sta[top]=l;
                      break;
                    }
                }
                
            }
        }
        if (sta[top]!=a[i]) sta[++top]=a[i];
    }
    while (top>1)
    {
        addedge(sta[top-1],sta[top],0);
        top--;
    }
}

那么剩下的主要就是 $dp$ 部分了

首先，我们定义 $mn[x]$ 表示在原树上 $1到x$ 的路径上边权的最小值， $f[x]$ 表示切割完 $x$ 子树内所有关键点的最小花费。

对于当前点 $x$ ，如果他是关键点，那么必须切割这个点到1的路经上的一条边，那么就是 $mn[x]$ ，否则 $f[x]=min(mn[x],\sum f[son]$

上代码

int dp(int x,int flag)
{
    
    int sum=0;
    for (int &i=point[x];i;i=nxt[i])
    {
        int p = to[i];
        sum=sum+dp(p,flag);
    }
    if (tag[x]==flag)
    {
        return mn[x];
    }
    return min(sum,mn[x]);
}

其中有一个要注意的地方就是虚树的时候，因为每次要重新建树，所以要清空 $point$ 数组，而由于时间原因，又不能直接 $memset$ ，所以我们只能使用奇妙的手段！自杀式遍历通过取地址，不断修改 $point$

for (int &i=point[x];i;i=nxt[i])

由于死机了三次QWQ
所以暂时没有办法放整个题的代码

虚树学习笔记（洛谷2495 消耗战）

猜你喜欢