[SLAM]（3-4）：四元数的定义与计算

结合 高翔老师的著作《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，加上小白的工程经验共同完成。

1.四元数的定义

旋转矩阵用九个量描述三自由度的旋转，具有冗余性：欧拉角与旋转向量是紧凑的，但是具有奇异性。事实上，我们找不到不带奇异性的三维向量描述方式。

奇异性举例解释为：

当我们想用两个坐标表示地球表面时（如经度和维度），必定存在奇异性（维度为 $\pm 90$ °时经度无意义）。

我们用复数集表示复平面上的向量，而复数的乘法则能表示复平面上的旋转：例如，乘上复数 i 相当于逆时针把一个复向量旋转90度。四元数是Hamilton找到的一种扩展的复数，它既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍微复杂一些。

一个四元数 q 拥有一个实部和三个虚部。如：

$q = q_{0} + q_{1}i + q_{2}j + q_{3}k$

其中 i , j , k 为四元数的三个虚部。这三个虚部满足关系式：

$\left\{\begin{matrix} i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\\ ij=k,ji=-k\\ jk=i,kj=-i\\ ki=j,ik=-j \end{matrix}\right.$

有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数：

$q=[ s,v ], s=q_{0}\epsilon \Re,v=\begin{bmatrix} q_{1}\\ q_{2}\\ q_{3} \end{bmatrix}\varepsilon \Re ^{3},$

这里s称为四元数的实部，而 v 称为它的虚部。如果一个四元数的实部为零，称之为实四元数。反之，若让门的实部为零，称之为虚四元数。

我们能用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转。乘以 i 对应着旋转180度，而 $i^{2}$ ，意味着绕 i 轴旋转360度后，你得到了一个相反的东西。这个东西要旋转两周才会和它原先的样子相等。

假设某个旋转是绕单位向量 $n = \begin{bmatrix} n_{x}\\ n_{y}\\ n_{z} \end{bmatrix}$ 进行了角度 $\theta$ 的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：

$q = \begin{bmatrix} cos\frac{n}{2}\\ n_{x}sin\frac{n}{2}\\ n_{y}sin\frac{n}{2}\\ n_{z}sin\frac{n}{2} \end{bmatrix}$ .

反之，我们亦可从单位是四元数中计算出对应旋转轴与夹角。

$\left\{\begin{matrix} \theta = 2 arccos q_{0}\\ \begin{bmatrix} n_{x}\\ n_{y}\\ n_{x} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} q_{1}\\ q_{2}\\ q_{3} \end{bmatrix}/sin\frac{\theta }{2} \end{matrix}\right.$

在四元数中吗，任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。同理，取 $\theta$ 为0，则得到一个没有旋转的四元数：

$q_{0} = \begin{bmatrix} \pm 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

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1.四元数的定义

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