算术基本定理（维基百科）

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，若不是本身就是质数，就是可写为2个以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:{\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}} $6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}$ ，{\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}} $1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}$ 。

算术基本定理的内容由两部分构成：

分解的存在性：
分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

证明[编辑]

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数{\displaystyle p|ab} $p|ab$ ，则不是 {\displaystyle p|a} $p|a$ ，就是{\displaystyle p|b} $p|b$ 。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

必然性[编辑]

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，{\displaystyle n} $n$ 大于1。其次，{\displaystyle n} $n$ 不是质数，因为质数{\displaystyle p} $p$ 可以写成质数乘积：{\displaystyle p=p} $p=p$ ，这与假设不相符合。因此{\displaystyle n} $n$ 只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设{\displaystyle n=a\times b} $n=a\times b$ ，其中{\displaystyle a} $a$ 和{\displaystyle b} $b$ 都是介于1和{\displaystyle n} $n$ 之间的自然数，因此，按照{\displaystyle n} $n$ 的定义，{\displaystyle a} $a$ 和{\displaystyle b} $b$ 都可以写成质数的乘积。从而{\displaystyle n=a\times b} $n=a\times b$ 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性[编辑]

引理：若质数{\displaystyle p|ab} $p|ab$ ，则不是 {\displaystyle p|a} $p|a$ ，就是{\displaystyle p|b} $p|b$ 。

引理的证明：若{\displaystyle p|a} $p|a$ 则证明完毕。若{\displaystyle p\nmid a} $p\nmid a$ ，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在{\displaystyle (m,n)} $(m,n)$ 使得{\displaystyle ma+np=1} $ma+np=1$ 。于是{\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp} $b=b(ma+np)=abm+bnp$ 。由于{\displaystyle p|ab} $p|ab$ ，上式右边两项都可以被p整除。所以{\displaystyle p|b} $p|b$ 。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设{\displaystyle n} $n$ 是最小的一个。

首先{\displaystyle n} $n$ 不是质数。将{\displaystyle n} $n$ 用两种方法写出：{\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} $n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。根据引理，质数{\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} $p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ ，所以{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}} $q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}$ 中有一个能被{\displaystyle p_{1}} $p_{1}$ 整除，不妨设为{\displaystyle q_{1}} $q_{1}$ 。但{\displaystyle q_{1}} $q_{1}$ 也是质数，因此{\displaystyle q_{1}=p_{1}} $q_{1}=p_{1}$ 。所以，比{\displaystyle n} $n$ 小的正整数{\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}} $n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}$ 也可以写成{\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} $q_{2}q_{3}\cdots q_{s}$ 。这与{\displaystyle n} $n$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

高斯类数[编辑]

对于二次方程：{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)} $ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)$ ，它的根可以表示为： {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

因为负数不能开平方，{\displaystyle b^{2}-4ac} $b^{{2}}-4ac$ 的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)} $f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)$ {\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163} $b^{2}-4ac=1-164=-163$ 两个复数解为: {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}} $x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}$

{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} $a+b{\sqrt[ {}]{-d}}$ 哪个{\displaystyle d} $d$ 值可以得到唯一分解定理？ {\displaystyle d=1,2,3} $d=1,2,3$ 皆可得到定理，但当{\displaystyle d=5} $d=5$ 时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 {\displaystyle 6=2\times 3} $6=2\times 3$ ；{\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} $6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。在高斯时代，已知有9个{\displaystyle d} $d$ 使得{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} $a+b{\sqrt[ {}]{-d}}$ 所产生的数有唯一因子分解（{\displaystyle a} $a$ ，{\displaystyle b} $b$ 如上面指出那样取值）。 {\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163} $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ 高斯认为{\displaystyle d} $d$ 的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个{\displaystyle d} $d$ 值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。