lintcode 树上最长距离
描述
给出由n个结点，n-1条边组成的一棵树。求这棵树中距离最远的两个结点之间的距离。
给出三个大小为n-1的数组starts,ends,lens,表示第i条边是从starts[i]连向ends[i]，长度为lens[i]的无向边。
返回的是树上任意两个结点的最远距离，而不是树的深度，注意给定的边是无向边。
题目保证给出的边一定能构成一棵树。
1≤n≤1∗10^5
1≤lens[i]≤1∗10^3
样例
给出n=5,starts=[0,0,2,2],ends=[1,2,3,4],lens=[1,2,5,6],返回11。
解释:
(3→2→4)这条路径长度为11，当然(4→2→3)也是一样的。
给出n=5,starts=[0,0,2,2],ends=[1,2,3,4],lens=[5,2,5,6],返回13。
解释:
(1→0→2→4)这条路径长度为13，当然(4→2→0→1)也是一样的。
思路
最一开始想到的暴力解法，直接维护一个二维数组，求出所有点之间的距离，找出最大值。但是发现n最大是10^5，时间复杂度只能是O(n)，也就是说，在有限的遍历中就能找出那个最大值。因此需要知道一个树中的性质。
从a点找出一个最远点b，从b再出发，找出最远点c（很容易知道bc的距离是大于等于ab的，c点就是a点时取等号，a在bc这条路上的时候取大于号）那么bc就是最大距离。证明如下：
假设存在一条边的距离大于bc，那么首先，这条边的起点和终点绝对不是a或b或c，设为mn。
假设m与a是相通的，那么m,n,a之间不可能构成环，所以只有2种情况。此时a->m->n或者m->n->a的距离就大于m->n，不正确。也有可能是m->a->n 或者n->a->m这条路线，如果是这样的话。因为an和am这两条路的大小都小于ab(ab为a引出去的最长距离)，所以ab,ac,am,an的大小关系就是
ab > an > ac 并且 ab > am > ac 并且 am+an > ab+ac，但是此时 b引出去的最长距离就不是b->a->c（此处有个问题，b引出的最长距离未必经过a，可以是另外一条支路，也就是abc公用了一个根，此时把根理解为a，一样得出结论）就是b->a->n或者m，又不正确。
因此证明了bc这条边就是最长的距离。
本人表达能力和逻辑能力欠佳，所以可以参考这位大佬的
https://blog.csdn.net/macuilxochitl/article/details/19157579
代码
我写的代码维护了一个n^2大小的矩阵，导致了内存超出了限制。。
因为已经纠结这题很久了，就没有再去想解决的方法。
这是我的代码
class Solution {
public:
/**
* @param n: The number of nodes
* @param starts: One point of the edge
* @param ends: Another point of the edge
* @param lens: The length of the edge
* @return: Return the length of longest path on the tree.
*/
void dfs(vector<vector<int>> cost,const int tar, int & _max, int & END) {
int n = cost.size(),top = -1, j, s[10007];
vector<int> visited(n, 0);
visited[tar] = 1;
s[++top] = tar;
int v;
while (top != -1) {
v = s[top];
for (j = 0; j < n; j++) {
if (visited[j] == 0 && cost[v][j] != 0) {
visited[j] = 1;
s[++top] = j;
if (cost[tar][j] == 0) {
cost[j][tar] = cost[tar][j] = cost[tar][v] + cost[v][j];
if (_max < cost[tar][j]) {
_max = cost[tar][j];
END = j;
}
}
break;
}
}
if (j == n)
top--;
}
}
int longestPath(int n, vector<int> &starts, vector<int> &ends, vector<int> &lens) {
// Write your code here
vector<vector<int>> cost;
cost.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
cost[i].resize(n);
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
int start = starts[i],
end = ends[i],
len = lens[i];
cost[start][end] = len;
cost[end][start] = len;
}
int _max = 0, END = 0;
dfs(cost, 0,_max, END);
_max = 0;
dfs(cost, END,_max, END);
return _max;
}
};
这个是九章算法种提供的答案。
原网址：
https://www.jiuzhang.com/solution/longest-path-on-the-tree/#tag-other
/**
* 本参考程序来自九章算法，由 @P同学 提供。版权所有，转发请注明出处。
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* - 更多详情请见官方网站：http://www.jiuzhang.com/?source=code
*/
public class Solution {
/**
* @param n: The number of nodes
* @param starts: One point of the edge
* @param ends: Another point of the edge
* @param lens: The length of the edge
* @return: Return the length of longest path on the tree.
*/
class TreeNode {
int val;
Map<TreeNode, Integer> neighbors;
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
neighbors = new HashMap<>();
}
}
class Pair implements Comparable<Pair> {
TreeNode node;
int val;
public Pair(TreeNode node, int val) {
this.node = node;
this.val = val;
}
@Override
public int compareTo(Pair other) {
return this.val - other.val;
}
}
public int longestPath(int n, int[] starts, int[] ends, int[] lens) {
if (n <= 1) {
return 0;
}
Map<Integer, TreeNode> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < starts.length; i++) {
if (!map.containsKey(starts[i])) {
TreeNode newNode = new TreeNode(starts[i]);
map.put(starts[i], newNode);
}
if (!map.containsKey(ends[i])) {
TreeNode newNode = new TreeNode(ends[i]);
map.put(ends[i], newNode);
}
TreeNode node1 = map.get(starts[i]);
TreeNode node2 = map.get(ends[i]);
node1.neighbors.put(node2, lens[i]);
node2.neighbors.put(node1, lens[i]);
}
TreeNode root = map.get(0);
Pair p = bfsHelper(n, root);
return bfsHelper(n, p.node).val;
}
private Pair bfsHelper(int n, TreeNode node) {
Pair res = new Pair(null, -1);
boolean[] visited = new boolean[n];
visited[node.val] = true;
PriorityQueue<Pair> pq = new PriorityQueue<>();
pq.offer(new Pair(node, 0));
while (!pq.isEmpty()) {
Pair curt = pq.poll();
res = curt;
for (Map.Entry<TreeNode, Integer> entry : curt.node.neighbors.entrySet()) {
if (visited[entry.getKey().val]) {
continue;
}
visited[entry.getKey().val] = true;
pq.offer(new Pair(entry.getKey(), curt.val + entry.getValue()));
}
}
return res;
}
}
如果有大神能指正我的代码的错误。非常感谢！