357. Count Numbers with Unique Digits-- back tacking 或者数学问题

Given a non-negative integer n, count all numbers with unique digits, x, where 0 ≤ x < 10^n.

Example:

Input: 2
Output: 91 
Explanation: The answer should be the total numbers in the range of 0 ≤ x < 100, 
             excluding 11,22,33,44,55,66,77,88,99


题意： 给你 n , 求 [0,10^n) 数字中不包含重复数字的数字的个数。

数学解：
1. n =1, 从 0~9 中 选一个 A(10,1) =10;
2. n=2 , 十位从 1~9(最高位不能为0) 选一个，个位从 剩下8个数外加0，一共9个数中选一个 ，9*9 = 81
3. n=3, 三位数的个数  9*9*8 
4. n=4, 四位数个数: 9*9*8*7 

如果n =3,  result3 = 10 + 9*9 + 9*9*8
如果 n=4,  result4 = result3+ 9*9*8*7

当 n>10 时，无论什么数字都会有重复数字了，不具备统计意义了。
以下code 可以优化， 不用sums 数组， 当n >10 时，就不再需要继续计算了。 

class Solution {
    public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        if(n==0) return 1;
       int[] sums= new int[n];
       sums[0] = 10;
       int num = 9;
       int mutiple = 9; 
       for(int i=1; i<n; i++){
            mutiple = mutiple *num;
            sums[i] = mutiple;
            num--;   
        }
        
        int total = 0;
        for(int sum: sums) total+=sum;
        
        return total;
       
    }
}