二叉搜索树
1.定义:
二叉查找树(Binary Search Tree),(又:二叉搜索树,二叉排序树)它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
2.原理
二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似,通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高,O(log(n)).
3.常用操作及其c语言实现
查找操作:
若b是空树,则搜索失败,否则:
若x等于b的根结点的数据域之值,则查找成功;否则:
若x小于b的根结点的数据域之值,则搜索左子树;否则:
查找右子树。
插入操作:
向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法,过程为:
若b是空树,则将s所指结点作为根结点插入,否则:
若s->data等于b的根结点的数据域之值,则返回,否则:
若s->data小于b的根结点的数据域之值,则把s所指结点插入到左子树中,否则:
把s所指结点插入到右子树中。
删除算法:
在二叉排序树删去一个结点,分三种情况讨论:
若*p结点为叶子结点,即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构,则只需修改其双亲结点的指针即可。
若*p结点只有左子树PL或右子树PR,此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树或右子树即可,作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后,为保持其它元素之间的相对位置不变,可按中序遍历保持有序进行调整,可以有两种做法:其一是令*p的左子树为*f的左子树,*s为*f左子树的最右下的结点,而*p的右子树为*s的右子树;其二是令*p的直接前驱(或直接后继)替代*p,然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱(或直接后继)。
BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X )
{
if( !BST ){ /* 若原树为空,生成并返回一个结点的二叉搜索树 */
BST = (BinTree)malloc(sizeof(struct TNode));
BST->Data = X;
BST->Left = BST->Right = NULL;
}
else { /* 开始找要插入元素的位置 */
if( X < BST->Data )
BST->Left = Insert( BST->Left, X ); /*递归插入左子树*/
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Insert( BST->Right, X ); /*递归插入右子树*/
/* else X已经存在,什么都不做 */
}
return BST;
}
BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X )
{
Position Tmp;
if( !BST )
printf("要删除的元素未找到");
else {
if( X < BST->Data )
BST->Left = Delete( BST->Left, X ); /* 从左子树递归删除 */
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Delete( BST->Right, X ); /* 从右子树递归删除 */
else { /* BST就是要删除的结点 */
/* 如果被删除结点有左右两个子结点 */
if( BST->Left && BST->Right ) {
/* 从右子树中找最小的元素填充删除结点 */
Tmp = FindMin( BST->Right );
BST->Data = Tmp->Data;
/* 从右子树中删除最小元素 */
BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data );
}
else { /* 被删除结点有一个或无子结点 */
Tmp = BST;
if( !BST->Left ) /* 只有右孩子或无子结点 */
BST = BST->Right;
else /* 只有左孩子 */
BST = BST->Left;
free( Tmp );
}
}
}
return BST;
}