luoguP1445 [Violet]樱花

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• 求方程 \(\frac {1}{X}+\frac {1}{Y}=\frac {1}{N!}\) 的正整数解的组数，其中\(N≤10^6\)，模\(10^9+7\)。
• 化简单一下\[x*y-n!*(x+y)=0\]
• 因式分解一下\[(x-n!)*(y-n!)=(n!)^2\]
• 设\(a=x-n!,b=y-n!\)，那么\(a*b=(n!)^2\)
• 也就是\(a,b\)对应了唯一一组\(x,y\)，所以问题转化成了：求方程 \(a*b=(n!)^2\) 的正整数解的组数。
• 考虑唯一分解定理，\[(n!)^2=\prod p_i^{2*c_i}\]
• 所以线性筛后分解\(n!\)，答案就是\(\prod (2*c_i+1)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define ll long long 
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1000001;
int n,tot,ans,c[N],Mark[N],prm[N];
int gi(){
    R x=0,k=1;char c=getchar();
    while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar();
    if(c=='-')k=-1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x*k;
}
int main(){
    n=gi(),ans=1;
    for(R i=2;i<=n;++i){
        if(!Mark[i])prm[++tot]=i;
        for(R j=1;j<=tot&&prm[j]*i<=n;++j){
            Mark[prm[j]*i]=1;
            if(i%prm[j]==0)break;
        }
    }
    for(R p=1;p<=tot;++p){
        R i=prm[p];
        for(R j=i;j<=n;j+=i){
            R x=j;
            while(x%i==0)c[i]++,x/=i;
        }
    }
    for(R i=1;i<=n;++i)c[i]=(c[i]<<1)+1;
    for(R i=1;i<=n;++i)ans=1ll*ans*c[i]%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}