NOIP 2017 试题研究
D1T1 小凯的疑惑 (45 min)
看到题面，大概是推数学公式。
先打暴力表，观察 \(a,b\) 与 \(n\) 的关系。猜想 \(a×b−a−b\)。
引理：对于正整数 \(p , q\) 满足 \(\gcd(p, q) = 1\), 使得 \(px + qy = n\) 无非负整数解的最大正整数 \(n\) 为 \(pq - p - q\).
使用反证法证明，即假设存在正整数 \(x\) 和 \(y\) 使得 \(px + qy = pq - p - q\)，证明矛盾。期望得分 100 分。
没办法一眼望穿？观察到答案更接进于 \(a\times b\)，考虑从 \(a\times b\) 到 1 递推。期望得分 70 分。
D1T2 时间复杂度 (1 h)
一眼望穿，模拟 + 字符串 + 栈结构。
然后死在模拟的过程中……期望得分 0 分。
绝对不能没把整个题目推完就开始写。先在草稿纸上把所有要注意的点写出来，列出清单。
在草稿纸上列出模拟的所有标记变量的含义和作用。在草稿纸上写出大致代码层结构，标出特判和标记变量作用的位置。（其实代码大致就出来了。）
上机实现。期望得分 100 分。
此类题目（模拟 + 字符串）严重考察细心和耐心。如果你的思路清晰，代码严谨工整，就不会过不去样例……
D1T3 逛公园 (45 min)
DP + 拓扑序 + 最短路 or 搜索 (记忆化)
观察题目。啥都看不出来？先打暴力。
容易发现，Day 1 还没有考 DP。注意到 \(K\le 50\)，猜测这是一个与 \(k\) 有关的 DP。
特殊情况 1：当 \(K=0\) 时，最短路计数！
最短路计数：
Dijkstra 堆优化 或 SPFA（死了）。
定义一个新变量数组
cnt，cnt[S]=1。更新边长的时候如果大于号就覆盖（cnt[to[i]]=cnt[x]），相等的话（即有相同最短路径）就相加（cnt[to[i]]+=cnt[x]）。无边权即边权为 1。注意模法。实现难度 [普及+/提高]。
期望得分 30 分。
特殊情况 2：然后考虑 没有 0 边 的情况。构造 DP 求解。写不出来……期望得分 30 分。
然后回过头检查 T1、T2 的代码。千万不要放空！放个 rand()%mod 也行啊……要爱惜分数。
D2T1 奶酪 (45 min)
观察到本题适合使用并查集。（NOIP 考点之一。）
距离要预处理。
实现难度 [普及/提高-]。期望得分 100 分。
D2T2 宝藏 (1 h 30 min)
状压 DP。思路难想！期望骗分 0 分。
写不出来状压 DP……显然要考虑部分分。DFS + 剪枝！暴搜算法的时间复杂度是 \(O(\)玄学\()\)。不要忘记低级算法的重要性，暴搜 AC 什么的大有人在。期望骗分 ?? 分。
D2T3 列队 (45 min)
标算是树状数组。想不到……想到了也不会写……
考虑部分分采用离散化思想。
对于 \(x_i=1\) 的情况，转化为：
对于一个序列，支持操作 (1) 删除第 \(k\) 个元素；(2) 在末尾添加一个元素。
尝试用树状数组实现。
维护一个 01 序列，第 \(i\) 位上是 0 表示这个位置上的数已经被删除了或者还没有被插入，第 \(i\) 位上是 1 表示这一位上的数没有被删除。
那么删除操作就是 1 → 0，插入操作就是 0 → 1。第 \(k\) 个元素就是前缀和为 \(k\) 的位置。树状数组二分。
其他就完全不会了。期望得分 30 分。（模拟得分）
总结
乐观估计为 360+?? 分。可见去年的难度还是很高的。如果暴搜写得给力能拿 400 分，如果字符串模拟炸了，那就省一无望了。（毕竟去年 FJ 省一线 300 分。复旦自招线 360 分……）
如何发挥超常正常？首先该拿的分数坚决不能丢掉。字符串模拟、暴搜剪枝，还有最短路和并查集的板子，一定要写出来。DP 能推的尽量推，部分分能骗的尽量骗……
明明所有考点都是 NOIP 范围内的，明明我也会 DAG 上 DP、状压 DP、树状数组……可见还是学艺不精，有待提高。
括号中标记的是完成核心代码的理论时间。实际上，一旦陷入 bug 的泥潭就很难出去了……
祝 NOIP 2018 RP \(\rightarrow\infty\)！